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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

GGo. Cette équation du plan tangent peut s'écrire sous la forme

[ 5 ] X'*+V'j+Z'i = V',

eu posant, pour abréger,

v'=x'.r'+yy+z'j'i

et je vais faire voir que V' peut toujours se réduire à une fonction de x’,y',z',de degré moindre que F’f.r.y, z).

Four y parvenir, il faut démontrer d'abord ce théorème :

T H ko si: m E. Si on a un polynôme homogène en x,y, z , et qu'on ajoute ses poly -nomes dérivés , après les avoir multipliés respectivement par x, y, z, ou reproduirale polynôme primitif, multiplié par le degré de l'homogénéité.

On dit qu'un polynôme est homogène en x , y, z, quand la somme desexposants de ces lettres est la mène dans chaque terme ; et cette somme senomme le degré de l'homogénéité.

Soit donc un polynôme homogène

u — kx r yiz r x v 'yi' z r ' etc.,

dans lequel les sommes pfqfr, p'-\-‘i' \ r', etc. sont égales à ni. En dési-gnant les polynômes dérivés par*,,!!, r, ou a

x p.\x f ~'yi z r + etc.,y = q\x r y q ~ l z T -\- etc.,v = rtix v y q z r ~‘ -f etc. ;

et de là il est facile de conclure la propriété énoncée : car on a évidemmentxx-f-yy-j-rz =(p-f 2 + r) Ax p y 1 a r +elc. — mu.

Maintenant supposons que , dans F ( x, y, z), la somme des termes dedegré ni soit u , que celles des termes de degré ni—j soit u\ ainsi de suite ;de sorte qu’on ait

F(ar, y, z) = u+u' + u"+etc. = 0.

Appelons X, Y, Z : x, y, t ; x', y.', /;... les polynômes dérives de F(.r,y, z ),u, u' .on a évidemment

X=x+E' 4 -ctc., Y= i u-i- ( u'+ctc., Z—i+y'+ctc. ;donc, si on pose V=Xai+ Yy+Xz , on aura

V = (x.r+// i y+vz)+(E'a?+//j'-|-v'.c) +ctc.,ou bien, en vertu du théorème sur les polynômes homogènes,

Y — nnt + (m—j)u' + (ni—2)n" + etc.

L’équation proposée F (x,y, z) — o donne

O ~ muj-mu' mn"+etc. ;

et, en retranchant cette égalité de la précédente, il vient

V=—»'— lu" — 'in '".— etc.