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TROISIÈME PARTIE.

U est évident que cette dernière fonction est, au plus, du degré m —i en.r,r, z; donc lu fonction Y', qui 11’est autre que la précédente dans laquelleon a remplacé x, y, z, par x\ y', s', sera au plus du degré m —i en x\y* > z ’.

661. Occupons-nous du cas où le plan tangent doit être mené par un pointdonné hors de la surface. Nommons x", y'\ z", les coordonnées de ce point,et x\ y’ } z\ celles du point de contact : on n’a , pour déterminer ccs troisinconnues, que les deux équations

r«] f

[7] X'r"-|-Y'/'+Z'5"=:V , I

dont l’une exprime que le point cherché est sur la surface ; et 1 autre, que leplan tangent passe au point donné. Ainsi, en général, le problème est indé-terminé.

662. Cependant il faut remarquer qu’il y a une condition tacite , qui nepeut pas être exprimée par une équation , et à laquelle il faut avoir égard :c’est que les valeurs de x\y f , z ', doiventêtre réelles. Aussi trouve-t-on, danscertains cas , que le problème est déterminé, et même impossible. Parexemple , supposons qu'il s’agisse de la surface qui a pour équation

7’ ! +æ' ! +z' î +æ+s + f= o,

et que le plan tangent doive passe? par l’origine. Dans ce cas il est facile devoir que l'équation [7] devient

x”-i- s , ' 1 -j- 2 ar'+ 3«'-)-3 = o,

ou bien

^'+i) , + (ü' + i)’=o.

Elle ne peut être satisfaite avec des valeurs réelles qu’en posant x'z= —j,z '—— 1. Par suite l’équation de la surface donne y'=— )/ Ainsi, on n’aqu’un seul plan tangent.

Si on voulait mener un plan tangent à la sphère par un point intérieur,on trouverait que les équations [6J et [7] ne peuvent pus avoir de solutionen valeurs réelles.

b<> 3 . D’après l’observation faite sur V'(66o), il est clair que l’équation [7]est, en x\y\ z ', de degré moindre que l’équation [6] ; par conséquent onpeut dire que le lieu de tous les points de contact est l'intersection de lasurface proposée avec une surface d’ordre inférieur. Mais cette propriété,présentée sous un autre aspect, paraîtra plus remarquable.

Soit R (lig.41) le point donné hors de la surface,et MA la ligne d’intersec-tion dont il s’agit : considérons le cène forme parles droites menées du pointR à cette ligne, et démontrons qu’il est circonscrit à la surface, c’est-à direqn’cnchaque point de la courbe MA, il a même plan tangentque la surface.

Ayant pris le point M à volonté sur MA, je mène la droite RM, qui estune génératrice du cône , et qui est évidemment dans le plan tangent aupoint M. Sur le cône, je trace une courbe quelconque MA' passant par cepoint, et une droite RN anssi voisine qu’on voudra de RM ; par les pointsK, N', où la droite rencontre les courbes MA et MA', je tire les sécantesMa, Ms'; puis je fais mouvoir la droite UN autour du point R, de maniéro