GÉOMÉTRIE ANAI.ïTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 455

que le point N se rapproche de M, sans cesser d’être sur la courbe MA. Pen-dant ce mouvement, la droite reste toujours sur le cône, le point M', oùelle coupe la courbe MA', s’approche aussi de plus en plus du point M, etles deux sécantes ne cessent pas d’être contenues dans un même plan avecKM ; donc les lignes Ma , M'a', deviennent en même temps respective-ment tangentes aux courbes MA et MA', et elles sont encore alors dans unmême plan ave« RM. Or, d’un côté, ce plan est tangent à la surface donnée,puisqu'il contient la tangente à la courbe MA et la droite RM qui appartientà ce plan tangent ; et, d’un autre côté, il est aussi tangent au cône ; car itrenferme les tangentes menées, en M, B toutes les courbes qu’on peut tracersur le cône par ce point.

Ainsi, on doit regarder comme démontré que la courbe de contact d'une sur-face donnée avec un cône, qui lui est circonscrit t est toujours située Sur une sur-face d'ordre inférieur h celui de la proposée.

Par conséquent, la ligne de contact d'un cône circonscrit à une surface dusecond ordre doit être plane.

664. La normale à une snrface est la perpendiculaire menée au plan tangent,par le point de contact. Le plan tangent a été trouvé sans faire aucune hy-pothèse sur les angles des coordonnées ; mais , afin de rendre les équationsde la normale plus simples, on suppose les axes rectangulaires. Alors ontrouve facilement ( 5 nC)

[8] V[x—x') — X’(e—*'), Z'( y—f) = Y '(«—«'),

pour les équations de la normale.

Plan tangent aux surfaces du second ordre.

CfiS. Appliquons au second ordre les résultats précédents. Prenons d’a-bord l’équation générale

[A] Ajr , +Ay-)-A"s'’+BBa’y-|-2B'a;a + 2R",rr

+ aC.r-|- aC 'y -faC"a-|-F = 0.

Dans ce cas, on a

X'=a(Ax' + B/ + BV +C),

Y'= a (A'/ + B.r' +B'V +C'),

Z'= a(A'V+BV+B"y+C"J,

—v'=2(0' +C'y+C"e'+F)i

et par suite l’équation du plan tangent, n» 60 o, devient, après qu’on l’adivisée par 2,

[1] Ax'+By+B'z'+C).r+(.V/+R;r'+BV+C>-KA'V+B'.r'+B'y+C")a+Cx'+Cy+C"e'+F =0.

Quand la surface a un centre, on peut la représenter par lcquation

[R] Px’+Py-fP'VraH 1

et alors l'équation du plan tangent devient

[»] P*'*+P'/d-+PV**BU.