Troisième partie.

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Un changeant P" en — P" dans l'équation [2] rlu n» 672, on a, pour laprojection de cette intersection,

[2] (P*’+P V+(P/r-P")s’+2p*^a+ et c. = o.

Concevons qu'on ait mené, par le centre, des parallèles aux asymptotesde cette projection, il est facile de voir, en général, que ces parallèles nedépendent que des trois termes du second degré : je veux dire qu’elles sontdonnées par l'équation

[3] (P*-*+P')/’+(?£’- P">’ + aP afyz = o.

Or, quand leplan coupantse meut parallèlement à lui-même, il est évidentque ces droites ne changent pas ; et cela prouve que les asymptotes desprojections, et par conséquent aussi celles des sections , restent parallèlesà elles-mêmes.

Transportons le plan coupant à l'origine, son équation devient

[4] * = ;

et en prenant ensemble les équations [3] et [4], elles déterminent deuxdroites , passant au centre, qui sont parallèles aux asymptotes des sections.L'équation [3] peut s’écrire ainsi:

V{ s y+£z? + V'y-— P'V = Oj

et, au moyen de l'équation [4] , elle devient

Pi , +1’'/-P"j*=o.

Cette équation , indépendante de «. et^, représente un cône qui est le lieudes parallèles menées, par le centre, aux asymptotes de toutes les hyperbolesqu’on peut tracer sur la surface : ou bien, ce qui est la même chose, il est lelieu des asymptotes à toutes les sections hyperboliques faites par le centre.l)elà lui vient le nom de cdne asymptote.

G76. O11 peut encore justifier autrement cette dénomination. Par un pointquelconque P (fig. 44) du plan de xy, je mène, au-dessus de ce plan, uneparallèle à l’axe des z, et je désigne par .r, y, z, et par x, y, Z, les coordon-nées des points M et N , où elle rencontre l’hyperboloïde et le cône ; onaura

_ P.r’ + iy+lt z , _ V£+VY

p/: ’ ’ p n 1

et par suite

i T— z* ± U_Z_ 'Z+7“P"(Z+X)'

Supposons que le point P s'éloigne du centre O, sans sort r de la droite OR.11 est clair que x’ et y', et par suite Z et z , augmenteront indéfiniment :donc la différence Z —z ira en diminuant, et pourra devenir aussi petitequ’on voudra.

Comme cette différence est positive quand l’hyperboloïde a une nappe, etnégative quand il en a deux , il s'ensuit que le cône asymptote est tout entierentre ces deux surfaces.