GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4-63

6;^. Le cône asymptote se fait encore remarquer lorsqu'on cherche, parle calcul j les intersections des hyperboloïdes avec les droites qui passentpar le centre. Les équations d’une telle droite sont *=e k, y~S'z; et, en lescombinant avec [P ], il vient

z

V ■

±11

Pî'+P't'* —P"

Il est évident qu’on peut donner à S et {' des valeurs toiles que le dénomi-nateur PiT-f VS 1 ’’ —P" soit, à volonté , ou positif ou négatif ou nul j doncil existe, dans chaque hyperboloïde, (les diamètres réels et finis, des diamè-tre s imaginaires, et des diamètres infinis.

Selon que l’hyperboloïde a une ou deux nappes , il faut prendre II avecdes signes différents ; et de là il suit que les diamètres imaginaires de l’unedes surfaces sont les diamètres réels de l’autre. Quant aux diamètres infinis,ils sont les mêmes pour toutes deux.

Pour ces derniers diamètres, on a

Pr + P'i n — P" = o ;

et, en éliminant J 1 et d'au moyen des équations s ely—?:, on trouve,pour le lieu géométrique des diamètres infinis,

Pje , +Py-^P''î' , = o.

C’est l'équation du cône asymptote (').

67S. Un paraboloïde hyperbolique peut aussi être coupé suivant des hy-perboles. Il a pour équation

P'y —P'V ± 2Q.V ;

et, en changeant P" en — P" dans l’équation ["'(] du n° 6^3 , on reconnaîtsur-le-champ que les parallèles menées par l'origine aux asymptotes île ceshyperboles ont pour équations

/P"

V-pi-

Ces valeurs sont indépendantes de n et de yS, et montrent que les parallèlesaux asymptotes de toutes les sections hyperboliques ont pour lieu géomé-trique deux plans parallèles aux diamètres de la surface.

679. Je ferai remarquer ici certaines formes d'équations , sous lesquellespeuvent se présenter les hyperboloïdes elles paraboloïdcs hyperboliques.

t° On peut rapporter chacun des hyperboloïdes à teois quelconques de scsdiamètres infinis. Alors, il faut que les intersections de la surface par lesplans coordonnés soient des hyperboles entre leurs asymptotes : or, celaexige que l'équation de la surface ne contienne ni les premières puissances

O Quand un hyperboloïde est rapporté à trois diamètres quelconques, sonéquation est de la forme ' , + S.r > y + S , a , s-|-S ,, y'S=C. Si alors on

lui applique les calculs précédents, on trouvera quïl suliit d y remplacer G par zéropour avoir le cône asymptote.