464 TROISIÈME PARTIE.

des variables, ni les secondes; donc on peut comprendre les deux hyperbo-loïdes dans une équation telle que Sxy-f-S'.r2+S"y2 = G.

a° Si les y et les z seulement sont pris sur deux diamètres infinis,et si onlaisse l’origine au centre, et les a' sur le diamètre conjugué des sections pa-rallèles au plan des deux premiers diamètres, la nouvelle équation devradonner des hyperboles entre leurs asymptotes, quand on coupera la surfacepar des plans parallèles à celui deys; et comme d'ailleurs l’origine est en-core au centre , on conclut facilement que les hypcrboloïdes ont aussi uneéquation de la forme R.r’-)-Sj 2 = G.

3 ° 1 ,’équation du paraboloïde hyperbolique étant P 'y '—P "z" =■ aQ,r, on avu (624) que le plan dey- coupe la surface suivant deux lignes droites, etque les sections parallèles sont des hyperboles qui ont leurs centres sur lediamètre des x, et leurs asymptotes parallèles à ces droites. Changeons lesaxes actuels des y et des 2, et rcmplaçons-les par ces deux droites. n re-connaîtra aisément qu’après la transformation , l’équation du paraboloïdehyperbolique doit se réduire à la forme Sy2 + Ra,'= o.

Sections rectilignes de l’liyper1>ole à une nappe.

680. Quel que soit le point que Von considère sur Vhyperboloïde à unenappe, on peut toujours mener un diamètre à ce point, et rapporter lasurface à trois diamètres conjugués dont celui-ci fasse partie. Alors, souéquation est

[p'j

Supposons que le premier diamètre soit celui des/, et faisons y—b^ ilviendra

d'où l’on conclut qu'on peut mener deux droites sur l’kypcrloloïdeà une nappe,par chacun de scs points.

Le plan de ces droites est tangent à Vhyperboloïde, puisqu'il est parallèleau plan diamétral conjugué du diamètre qui aboutit au point que Von con-sidère sur la surface (G6G). Il est évident d’ailleurs que cela doit être ; carces droites sont elles-mêmes leurs tangentes, et à ce titre elles doivent êtredans le plan tangent.

G81. Considérons sur la surface une ellipse quelconque ABC (fig. 4 ^)» si-tuée dans un plan qui passe par le centre O, et qui a OZ pour diamètre con-jugué. Par tous les points de cette ellipse, menons les droites AG, BII,...-tangentes à cette courbe, et les droites AD, Blé, ... parallèles à OZ. D’aprèsce qui précède, les deux droites de Vhypcrboloïdc, qui passent au point A,sont situées dans le plan tangent DAG ; et l'équation [i] prouve qu'ellessont de cotés dilférents par rapport à la ligne AD.

Pour iixer les idées, imaginons qu’on tourne autour de i liyperboloïde dansle sens ABC et alors on distinguera, sur cette surface, deux systèmes de