GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 465

droites : l'un composé des lignes AP, BQ,... qui ont leur partie supérieureà droite des parallèles AD, BE...; et l’autre, des lignes AP', BQ',... qui ontleur partie supérieure à gauche de ces mêmes parallèles. Quand l’hyper-boloïde est de révolution, les droites du premier système font avec l'axe lemême angle que celles du second, et la surface peut alors être engendrée dedeux manières différentes par la rotation d’une droite.

682. La disposition précédente étant bien comprise, considérons deuxdroites quelconques AP, BQ, appartenant au même système , et menons pa-rallèlement à OZ, par le point de concours des tangentes AG et BH , la ligneSGS' qui rencontre l’hyperboloïde en S et S'. La ligne SGS' est l’intersectiondes plans tangents DAG, EBH ; et il est clair que si les deux droites AP et BQ,qui sont respectivement dans cès plans, se rencontrent, ce ne peut être quesur la ligne SS'. Mais, d’un autre côté, il est évident que AP doit passer aupoint S, et BQ au point S'; donc ces droites ne se rencontrent pas. Le mêmeraisonnement montre, au contraire, que deux droites de systèmes différents,telles que AP et BQ', iront couper SS' au même point S. Donc, en général,deux droites prises dans un même système ne se rencontrent pas, et deux droitesde systèmes différents se rencontrent toujours.

683. L’équation [1] montre que les droites qu’on peut tracer sur l’hyper-boloïde à une nappe, par chacun de ses points, sont parallèles aux asymptotesdes sections parallèles au plan de ces droites ; et de là on conclut que toutesles droites situées sur fhyperboloïde étant transportées au centré , parallèlementà elles-mêmes , s'appliquent exactement sur le cône asymptote.

684. Considérons encore trois droites d’un même système, telles que AP,BQ, CR ; et supposons pour un moment qu’elles soient parallèles à un mêmeplan. En les transportant au point O, parallèlement à elles-mêmes, elles seplaceraient dans un même plan ; et par conséquent, il y aurait sur le côneasymptote trois génératrices situées dans un même plan. Si cela était, lasection de ce cône, par un plan parallèle à l’ellipse ABC, aurait trois pointsen ligne droite, ce qui est impossible, puisque cette section est une ellipse.Donc trois droites d’un même système ne sont jamais parallèles à un mêmeplan.

685. Prenons à volonté trois droites dans un système , et regardons-lescomme fixes dans l’espace. On peut mener, par chaque point de la première,une droite qui rencontre les deux autres : car en faisant passer par ce pointdeux plans, dont l’un contienne la seconde ligne, et l’autre la troisième, l’in-tersection de ces plans remplit les conditions dont il s’agit. On pourra doncfaire glisser une droite de manière qu’elle s’appuie constamment sur les troislignes fixes; et il est évident que, dans ses diverses positions, elle viendracoïncider successivement avec toutes les droites de l’autre système. Ainsi,l'hyperloloïde à une nappe peut être engendré par une droite qui se meut le longde trois droites fixes , non parallèles à un même plan.

Il est d’ailleurs assez clair qu’on peut choisir les trois directrices d’uneinfinité de manières dans tel système qu’on youdra, pouryu quelles appar-tiennent toutes trois au même.

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