466 TROISIÈME PARTIE.

686. Un liypci'boloïilc à une nappe étant donné par son équation

cherchons les équations des génératrices de chaque système. A cet elfet,écrivons l'équation [//] de cette manière :

froe-K + ï)(H>

On voit qu'elle se vérifie, soit en posant

soit en posant

a et fi étant deux indéterminées , qu'on peut faire passer par toutes les va-leurs possibles. Les équations [a] dorment les génératrices de la surface quiappartiennent à un système; et les équations [ 3 ], celles qui appai#iennentà l’autre système.

687 On peut encore présenter cette recherche d'une autre manière.Prenons l’équation d'un plan quelconque parallèle aux z,

[4] j =

et éliminons entre [//] et II vienta’AV

[ 5 ] ■—-— ~(b' x -\-a x cii 1 )x tx -\~’ia 1 difix-\-a x 0 x — a* h " 1 ;

et cette équation représente l’intersection de l’hyperboloïde et du plan, enprojection sur le plan de xz. Pour que cette intersection se réduise à deuxlignes droites, il laut que les valeurs de z soient du premier degré en x : lesecond membre doit donc être un carré, ce qui exige la condition

De là on tirc£=J/ 7 < '-j-a 1 **, le radical emportant avec lui le double signe dz.Par cette détermination, l’équation [ 5 j donne en efletdeux valeurs du pre-mier degré ; et en les associant, chacune à son tour, à l’équation [4], onaura

1 _ e{pc]/ù A -\-a À a r i ‘\’O l tt) j —

v ab \ ab

Ces deux systèmes d’équations, dans lesquels et est indéterminé, correspon-dent aux deux systèmes de droites contenues sur la surface. Il est évidentqu’on reproduirait l’équation de l’hyperboloïdc en éliminant et entre lesdeux équations de l’un quelconque des deux systèmes.

Si on change c en c\/ —i, les résultats précédents conviendront à l’ellip-soïde; et si eu outre ou change a en oj/— i, et b en ils s’applique-