GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS 467

ront à l'hyperboloïde à deux nappes. Mais alors ces résultats sont imagi-naires ; donc ces deux surfaces ne peuvent pas être engendrées par uneligne droite, ce qui d'ailleurs est évident à priori.

688. Il reste encore à démontrer que toutes les surfaces engendrées parune ligne droite qui glisse sur trois droites fixes, non parallèles à un mêmeplan, sont des hyperboloïdes à une nappe.

Je remarque d’abord qu’on peut mener par chacune de ces droites deuxplans respectivement parallèles aux deux autres droites, et qu'on détermineainsi un parallélépipède dont ces droites sont trois arêtes. Supposons (fig, 46)que FF'GII soit ce parallélépipède,^et que FF', GG', 1111 ', soient les troisdirectrices. Par le centre O de ce parallélépipède, menons trois parallèles,Ox, Oj, Oz, à ces lignes, et choisissor.s-les pour axes des coordonnées x, y, z;enfin, faisons FF'= 2/, GG'=2g, IlH'=2ft.

Cela posé, les équations des trois directrices sont

r = -i}P° UrFF '' x = -/]p° UrGG '’ 1?°» HU '-

Prenons, pour la génératrice, les équations

x = *s + a', y = @z+0:

les quantités a, a.', /S, 0 , devront être assujetties aux équations qui expri-ment que cette ligne rencontre les trois directrices ; et on trouve facilementque ces équations sont

*'—/ 0+tt

gz= — 0h+0, —/=stft+*', .- — —T~

Alors il n’y a plus qu’a éliminer a, 0 0 , entre ces équations et celles de lagénératrice, pour avoir une relation entre lés coordonnées x,y, z , d’un pointquelconque de la surface engendrée par le mouvement de cette ligne le longdes trois droites fixes. Or, des quatre premières équations, on tire

*+/ r p— y ~ s p_ s~+ h y

z — h Z — h z-{-h z-i-h

et, en mettant ces valeurs dans la cinquième équation, il vient, toutes ré-ductions faites,

hxy+gxz +fyz+fgh=z 0 .

Donc la surface est du second ordre, et elle a l’origine pour centre. D’ail-leurs, sa génération même montre quelle est continue et illimitée, et qu’ellen’est ni un cylindre ni un cône ; donc elle ne peut être qu'un hyperboloide àune nappe. *

Sections rectilignes du paraboloïde hyperbolique.

689. On peut aussi tracer sur la surface du.paraboloïde hyperbolique deuxdroites par chacun de scs points.

E11 effet, en prenant pour origine un point tjuelconcjue de cette surface,on peut donner à son équation la forme

LQ'J py~P'V= 2 Q*,