468 TROISIÈME PARTIE.

laquelle fait voir que le plan de yz coupe la surface suivant deux droites,qui ont pour équations

j|/P' = isJ/P".

690. Aucune des droites de la surface n’est parallèle à un plan diamétral <car tous les plans diamétraux sont parallèles à la ligne des x (636), et de telsplans coupent la surface suivant des paraboles (673). On est donc sûr queces paraboles sont rencontrées par toutes les droites de la surface. Soit ABC(6g. 47) une de ces paraboles : menons, par tous ses points, des tangentesAG, BH,... et des droites AD, BE,... parallèles aux cordes conjuguées auplan diamétral ABC. Les deux droites duparaboloïde, qui passent en A, sontdans le plan tangent DAG, et situées de côtés différents par rapport à AD jet les droites de la surface qui passent en chacun des autres points de la courbeABC donnent lieu à une remarque analogue. De là résulte la distinction deces droites en deux systèmes ; et on démontre, comme on l’a fait pour l’hy-perboloïde à une nappe (682), que deux droites du même système ne se rencon-trent pas, mais que deux droites de systèmes différents se rencontrent toujours.

691. Pour avoir les équations des droites situées sur le paraboloïde, met-tons l'équation [Q'] sous cette forme

O-J/P'-sJ/P") (yl/P'+sf/V») = iQxon voit qu’elle est vérifiée en posant

M jj/P'—sJ/P'—* e‘ yV P'+*l/P'-—

L J A

et encore en posant

2O

[a] y]/P'- f4 y P"=^ et y]/V'—z]/V"= -j-x.

Ces équations donnent les deux systèmes de droites, en faisant passer lesindéterminées a. et 0 par toutes les grandeurs possibles.

692. On arrive encore à ces droites par les calculs du n° 687. Soit

[3] x = *z+/Z

l’équation d’un plan quelconque parallèle aux y. Il faut d’abord éliminer xentre [Q'] et [3], ce qui donne

[4] Pyr^P'V+aQas + aQ/S.

Ensuite il faut assujettir * et à la condition nécessaire pour que cetteéquation représente deux droites ; et on a ainsi

Q’V=2P"Q/S, d’où /5=^.

Par suite, les équations [3] et [ 4 ] deviennent

et elles déterminent alors le premier ou le second système de droites, sui-vant qu’on prend le signe + ou lç signe —.