GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 475

blcmcnt situées. C’est cette propriété qu’il fallait démontrer. Toutefois, ilpeut se faire que ces courbes soient des hyperboles différemment tournées.

Le théorème qui vient d’être démontré est l’extension d uuo propriété con-nue dans la sphère (n° 5 a 4 , I),et sur laquelle Ptolémee a fondé la construc-tion des mappemondes telles qu'elles sont encore en usage aujourd hui.

6gg. Théorème. Si deux surfaces du second ordre se rencontrent suivant unepremière ligne plane , elles se couperont encore suivant une autre ligne plane.

Prenons, ainsi que l’a fait M. J. Binet, le plan de la ligne commune pourcelui de xy, et supposons que les équations des deux surfaces soient

[1] A.r a -)-A' i y 1 -f A"r’+Ba-j-fB'j:r-fll"rx

+Cl+C>+C"E+Fr= 0 ,

[2] ox’-j-o'y-’-f a"z 1 -\-bxy-\- b'xz + b"yz

+cx+c'y+c"zff=o.

En faisant z — o, les équations résultantes doivent représenter la mêmeligne ; et, pour cela , il faut queles coefficients de ces équations soient pro-portionnels. Ainsi, f étant le rapport de A à a, on aura

A = of, \' — a’f, B = if, C=cp, C' = c'f, F —ff.

Maintenant, multiplions l’équation [2] pavp, et alors retranchons-la del’équation [1] : les termes qui ne contiennent pas z se détruiront, et ilviendra

(A"—o" f > 3 +(B'— b' ( )xz + (Ji"—b" f )yz + (C"—c" f > =0.

Les coordonnées de tous les points communs aux deux surfaces doivent sa-tisfaire à cette équation 1 or, elle se partage en deux autres,

z=o, et (A"-u" f )a + (B'-i' f )x-KB"-J" f ) r +(C''-c''p) = o,

lesquelles représentent deux plans; donc l’intersection des deux surfacesse compose de deux lignes planes. Dans certains cas, la seconde ligne peutse confondre avec la première; elle peut aussi se réduire à une simple lignedroite, ou à un pointunique, ou même devenir imaginaire.

-00 Théorème. Dans une surface du second ordre , deux cercles quelconquesappartenant a deux séries différentes sont toujours situes sur une même sphère.

Cette propriété est une extension de celle qui a été donnée n° 470 pourles sections sous-contraires du cône oblique; et voici comment on peut ladémontrer.

Soit (fig. 52) MNPQ le plan principal d’une surface du second ordre, surlequel sont perpendiculaires les deux séries de plans qui coupent la surfacesuivant des cercles ; et soient MN, PQ, les diamètres de deux de ces cerclespris dans les deux séries.Concevons qu’une sphère soit décrite du même centreet du même rayon que le cercle qui passe par les trois points M, N, P. Ilest clair que le cercle MN est contenu sur cette sphère, et qu’ainsi il estune intersection de la sphère avec la surface donnée. Donc l’autre courbed’intersection est plane, et par conséquent c’estun cercle ; car, sur la sphère,toutes les courbes planes sont des cercles. Ce cercle, devant se trouver sur