4-76 TROISIÈME PARTIE.

la surface donnée et passer au point P, est compris dans l'une des deux sériesde sections circulaires. Il ne peut pas être le cercle l’R parallèle au cercleMN ; car s'il en était ainsi, ces deux cercles, appartenant à une même sphère,devraient avoir leurs centres sur un diamètre perpendiculaire à leurs plans,et dès-lors les cordes MN et PR devraient être perpendiculaires à leur dia-mètre conjugué. Or cela est impossible, à moins que la surface ne soit de ré-volution ; et, dans ce cas, les cercles PQ et PR coïncideraient. De là il suitque la seconde courbe d'intersection doit être le cercle PQ, ce qui démontrele théorème.

•j 01. Théorème. Quand deux surfaces du second ordre ont un plan principalcommun, l’intersection des surfaces se projette sur ce plan suivant une ligne dusecond ordre.

Prenons le plan principal commun pour celui de xy, et choisissons les zperpendiculaires à ce plan. Les équations des deux surfaces ne devront con-tenir aucune puissance impaire de z , et seront de la formeAx’ + Ay-fA"x’+R.r r +Ca:+CV+F = o,

ax’ + a'/’ -|- o"a’+ bxy CJ' ■ |■ c’y ; f — o.

Or si, pour éliminer z, on les retranche l une de l’autre, après les avoirmultipliées respectivement par a" et A", le résultat sera une équation dusecond degré en x et y; donc , etc.

CHAPITRE X.

DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDREA TROIS VARIABLES.

Exposé de la méthode.

702. Les propriétés distinctives de chaque surface du second ordre étantconnues, ainsi que celles des cas particuliers qui s*y rattachent, je vaisexposer la marche à suivre pour déterminer à quelle surface ou à quel casparticulier se rapporte une équation du second degré, dont les coefficientssont des nombres donnés.

Après avoir ramené l’équation à la forme[A] Ax 3 4 - A y+A 77 * 3 +aBx/+ iWxz -f- zW'ys

-f^Cx-faCy-faC^z-f F=o,

on égale à zéro, les polynômes dérivés du premier membre, relatifs à x, a y,et a z: on a ainsi trois équations du premier degré, qui doivent donnerpour valeur de x, y, z t les coordonnées du centre (627). Or la résolutionde ces équations conduit à distinguer quatre cas généraux (628).

i° Celui où il n’existe qu’un seul centre; 2 0 celui où il y a une infinitéde centres, situés sur une ligne droite; 3 ® celui où il y a une infinité decentres, situés dans un plan; f\° celui où il n’existe pas de centre.