GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 477

jo 3 . Premier cas. On transportera l’origine au centre, et il viendra uneéquation telle que

[G] Ay'-J-A'x’ + A'V+uB.ry-t- 2 Wxz-\- 2 Wyis+G~o,

dans laquelle les coefficients sont les mêmes que dans [A], à l’exception

de G, dont la valeur est (627)

G=C/+C , g-+C"7« + F.

Supposons G différent de zéro, divisons l’équation [G] par —G, etformons celle qui fait connaître les axes de la surface (642). Pour cela,il faut remonter à l’équation [ 3 ] du n° 63 ^, et y remplacer A, A',...A A' .

par-, — — En faisant, pour abréger,

A+A'+A"

G

L = —

G

M =

AA'+AA"+A'A"— B’ — B' 5 —B" 3

N:

AB''’+A'B ,3 +A"B’—AA'A"—2BB'B"

G ;i

l’équation dont il s’agit sera

[a] x ? — Lx’-t-Mx —■ N = o.

On sait (642) que ses racines ne sont jamais imaginaires, et qu’en les dési-gnant par a", a'", les demi-axes de la surface sont

Puisque ces racines sont réelles, la règle de Descartes suffit pmir connaîtreleurs signes. Si l’équation [x] a trois variations, les racines x^.", x'", sontpositives, et la surface a ses trois axes réels; donc elle est un ellipsoïde.S’il y a deux variations seulement, la surface n’a que deux axes réels; c’estun hyperboloïde à une nappe. S’il n’y a qu’une seule variation, la surfacen’a qu’un axe réel; c’est un hyperboloïde à deux nappes. Mais quand l’équa-tion [x] n’a que des permanences , ses racines étant négatives, les trois axesdeviennent imaginaires; et alors la surface elle-même est imaginaire ; c’est-à-dire qu’il n’existe aucun point dont les coordonnées puissent vérifierl’équation proposée.

Pour faire usage de l’équation [x}, il faut que les coordonnées soient rec-tangulaires : c’est pourquoi j'indiquerai encore le procédé suivant, qui estindépendant de cette supposition.

On mène une droite quelconque par le centre, et on examine si, danstoutes ses positions, elle rencontre la surface, qui serait alors un ellipsoïde.Dans le cas contraire, ce serait un des hyperboloïdes, et pour distinguer le-quel des deux, on fait passer un plan par le centre, puis on cherche si, envariant les positions de ce plan, il peut couper la surface suivant des ellipses,ce qui fera reconnaître l’hyperboloïde à une nappe. On peut encore obtenirla même conclusion en examinant si un plan peut couper la surface suivant

\/x'V x"V;