TROISIÈME PARTIE.

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une droite. Souvent les sections faites par les plans coordonnés, ou par leursparallèles, suffisent pour obtenir toutes les indications dont on a besoin.

Jusqu’ici on a supposé G différent de zéro; soit maintenant G = 0:l'équation [G] se réduit à

Ax’+Ay + A"a’+ •ïBxy+iWxz -{-iWyz — o.

Elle est vérifiée parles valeurs x=o,j==o,a=o, ainsi le centre fait partiede la surface ; et, comme nous sommes toujours dans l’hypothèse qu’il n’y aqu’un seul centre , l’équation doit représenter un cône ou un point unique.Pour décider entre les deux cas, on fera une section parallèle à un des planscoordonnés, et on examinera si elle est réelle ou imaginaire.

70-j. Deuxième cas. Quand on résout les trois équations qui déterminent lecentre , il peut se faire qu’en tirant, de deux de ces équations, les valeurs dedeux inconnues, et en les substituant dans la troisième équation, celle-ci se vé-rifie d’elle-même sans aucune détermination de la dernière inconnue. On doitconclure de là que les plans représentés par les trois équations se coupentsuivant la même droite, et que tous les points de cetle droite peuvent êtrepris pour centres. Ce cas est celui dont nous nous occupons.

Alors l’équation proposée doit représenter ou un cylindre elliptique, ouun cylindre hyperbolique, ou deux plans qui se coupent, ou une droiteunique, ou une surface imaginaire : or il est évident que toute indécisiondisparaîtra en coupant la surface parles plans coordonnés.Quelquefois la sec-tion faite par un seul de ces plans suffira. Par exemple, si celui de xy donneune ellipse, on peut affirmer que la surface est un cylindre elliptique; maissi elle donne deux droites parallèles, il faut recourir au plan de xz. Si ontrouve enc^jp deux droites parallèles, on se sert du plan yz, et il ne pourraplus rester aucun doute. Voyez les exemples (708).

yo 5 . Troisième cas. Ce cas a lieu lorsque la valeur d’une inconnue, tiréede l’une des trois équations qui doivent déterminer le centre, rend identiquechacune des deux antres. Alors il existe une infinité de centres, dont lelieu est un plan , et l’équation proposée devra représenter deux plans paral-lèles, ou un plan unique, ou deux plans imaginaires. Les sections faites parles plans coordonnés suffiront donc pour écarter toute indétermination.

706. Quatrième cas. On reconnaît ce casa ce que, en cherchant les coor-données du centre, on arrive dans le cours du calcul à une absurdité évidente,telle que 2 = 3 , par exemple. Alors il n’existe pas de centre; et les sectionsparallèles aux trois plans coordonnés achèveront do résoudre la question. Eneffet, on doit avoir ou un paraboloïde elliptique, ou un paraboloïde hyper-bolique, ou un cylindre parabolique; et je vais montrer que ces sectionsdonnent des résultats différents pour chacune de ces surfaces.

Dans le pnraboloide elliptique, les sections doivent être des paraboles oudes ellipses (673): or, les plans qui donnent des paraboles sont parallèles àune même droite; donc, sur les trois séries de sections , il y en a au moinsune qui se compose d’ellipses. Un raisonnement semblable prouve que, dansle paraboloïde hyperbolique, il y aura au moins une de ces séries qui donnera