GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE \ ^OIS DIMENSIONS.

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des hyperboles. Enfin, quand la surface est un cylindre parabolique, lessections ne peuvent être que des paraboles ou des droites parallèles.

Exemples.

707. Exemples clans lesquels il y a un centre unique.Exemple I. Soit l’équation

[1] .r' l +2y 3 +2a ï -{- ixy — six — !yy — t^zzxo.

Je forme d’abord les équations dérivées

[■]

x + y — 1 — 0, ly + x — 2 = 0, 3 — i=o.

Ou en tire x = o , y = 1, 3 = 1 ; donc il y a un centre unique.

En comparant l’équation [1] avec [A] , on voit que C = — 1 , C'= — 2,C"= — 2 , E = o. Par suite, la quantité G devient G = — 4 ; et en plaçantl’origine au centre, il vient, pour la surface,

[’4

ar’+2y'’+ 2 3’+ 2 xy — 4 — o.

Je cherche maintenant ce que devient l’équation [x] (les coordonnéessont supposées rectangulaires). Il faut prendre A = i, A'=2, A"=2, 15 = 1,

B'=o , I)"=o, G = — 4 - l >ar suite, L = i , ÏI = ri> N = loquation £x]

devientx 3 —^x’+rjX—^ = 0; et, puisqu'il y a trois variations, on conclutque la surface est un ellipsoïde.

C’est ce qu’on voit encore comme il suit. Une droite passant par le centrea pour équation xz=az, y — bz; et quand on cherche ses intersections avecla surface, on trouve

(«+i)’+ê’+3

Ces valeurs, ainsi que celles de x et de y, sont réelles, quels que soient aet b ; par conséquent la surface est rencontrée par tous ses diamètres : doncelle est un ellipsoïde.

On parvient aussi à cette conséquence au moyen des sections paral-lèles au plan de yz. Soit fait x = a dans l’équation [2] , il vient2y , + 23 1 -{-2a - v-(-a , — 4 = 0 > ou

■+<jr+\*y

E11 prenant *<J/8, quel que soit d’ailleurs le signe de «t, on voit que lessections sont des ellipses ; mais, en prenant et> f/8, elles sont imaginairesPar là, l'ellipsoïde est clairement désigné.

Exemple II. Soit proposée l'équation

[■]

x* -j -y 1 + 22 1 — a xy — rxxz+^yz-^-oy — S — o.

Le centre sera donné par les équations

x — y — z — of y—x 4* Kiz +1=0, 2 z — x + 2/ = 0.

O11 eu déduit x=o, y=. 1, $ = — 1; donc il y a un centre unique. Outrouve G = — 2 ; donc la surface rapportée au centre a pour équation

4 y H- 2~ ’ —12 xy — 2x5 -[ f\yz — 2 = 0.