480 TROISIÈME PARTIE.

On a ici L—2, M= —4, N = — a. Par suite on aura donc x 3 —2\’— i\+i=o :et puisque cette équation a deux variations, la surface est un hyperboloïdeà une nappe.

On arrive immédiatement à cette conclusion, en remarquant que le planactuel de xy rencontre la surface suivant des droites. En effet, si on pose2 = 0 dans [a], il vient

ar’+y’— 2xy = 2, d'où y = x±\/ 2.

Exemple III. Soit l’équation

[1] 2y‘‘ + z , + 2xy — \x2 +4/ + 4s —9 = 0.

On trouve le centre par les équations

X+y — 22 = 0, —2/ + Æ + 2 = 0, 2 — 201 + 3 = 0,

lesquelles donnent x= 2 , y = 2 , 2 = 2, et par suite G =—1. Ainsi, lasurface rapportée au centre a pour équation

[2] x " 1 — 2y’+ a’+ 2;ry— l^xz —1 = 0.

Les valeurs de L, M, N, sont L = o, M = — 8, N = 5 ; et l’équation [x]devient x 3 — 8x —5 = o. Comme elle n’a qu’une variation, la surface doit êtreun hyperboloïde à deux nappes.

Si les coordonnées étaient obliques, on ne pourrait plus se servir de l’é-quation [x]. Alors, après avoir mis l’origine au centre, on cherchera les in-tersections de la surface avec les plans coordonnés ; et comme on trouvetrois hyperboles, on reconnaît bien que la surface est un hyperboloïde,maison ne voit pas qu’il est à deux nappes. On s’en assure, eu examinantsi un plan mené par le centre peut la couper suivant une ellipse. Or, l’é-quation d’un tel plan est 2 = ax-\-ly; et, en éliminant z de l’équation [2],il vient

(a’ — 4o+ i)# 1 + ( 4 ’— 2 )/’ + 2(ai— 2 b + I )xy — 1 = 0.

De là, en posant p = 2 a’ 1 + 2 ab — 8a + 3b 2 — \b + 3 , on tire

x _ ( 2 ^ — al >— i)y±y ty‘ + a‘ — 4 « + i

a' — 4“ + 1

Au moyen de ces valeurs de x , on aperçoit facilement que si on prenda=2 et b y'-}, la section est imaginaire. Ainsi, les plans menés par lecentre ne donnent pas tous des sections réelles : or , cela suffit pour recon-naître l’hyperboloïde à deux nappes.

Exemple IV. Soit l'équation

[1] 3x 2 +y 2 -{- z 1 —2 xy — 3xz +yz +^ + 2 = 0.

Pour le centre, on trouve x =—~, y= —i, z = o. En y plaçant l'ori-gine, l’équation [i] se change en

[2] 3 a:’+y 2 +a’—20-/ — 3 «+ya + O = 0 .