GÉOMÉTRIB ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 481

L’équation [x] devient■ x 3 +n ^+H»’ k +n s ^ = °: et, puisqu'il n’y a quedes permanences, les trois racines sont négatives ; donc la surface est ima-ginaire, ou, en d’autres termes, l’équation [i] est impossible.

Soient x = az , y = bz, les équations d’une droite menée par le centre}combinons-les avec l’équation [2] : il vient

( 3 a’+ 4 5 + I —2 ab — 3 a +ou, sous une autre forme,

[(4-«+0* + a(«-i) , +ï>*=-y-

Quels que soient a et b, les valeurs de z ne peuvent pas devenir réelles j etcela prouve encore que l’équation [1] est impossible.

Exemple V. On propose l’équation

[1] Sx^+iy 1 — ixz-\-fyyz — 4*— 8 a— 8 = 0 .

Pour le centre, on trouvera a: = o, y = 2, z— — 2; et, en prenant cepoint pour origine, l'équation [1] se change en celle-ci

3 jc’+ ny 1 — ixz + t\yz = 0,

laquelle peut donner ou un cône ou un point unique. Mais une section parun plan qui ne passe point par l’origine fait disparaître toute incertitude.Par exemple, soit x = 1 : il vient

2/’+4y^—2 z -f 3 = o.

Or, il est clair que cette équation représente une courbe réelle ; par consé-quent l’équation [1] est celle d’un cône.

Exemple VI. Si on a l’équation

[1] Sa^+ay*+ 2 *’+ 2 yz + 6x + 6y + Gz + 9 = o,

et qu'on la traite comme l’exemple précédent, on apprend qu’elle repré-sente un point unique.

C’est ce qu’on peut rendre évident sur l’équation même. En effet, onpeut l’écrire ainsi

3 (.r + i)’+ 2 ( r +lx + i)’+ K*+i)’=o;

et alors, on voit qu’on ne peut y satisfaire qu’en posant à la fois x +1 =0,j + ^a + i = o, s + i = o, d’où x = — 1 ,y = —1 ,s =—I.

Remarque. Il ne faut pas croire que le changement fait à l’équation [1],pour lui donner la forme précédente, soit un artifice de calcul que la saga-cité puisse seule découvrir. Le procédé qu’il faut suivre est, au contraire,naturellement indiqué par les théories de l'algèbre ; et voici en quoi ilconsiste.

Considérons un polynôme du second degré en x, y, z,

X = A.r’+A'y+A"s’+ 2B xy + etc.

Si on pose l’équation X=o, 011 en tire , pour x , des valeurs de la formea.'=X I ±J/Y, X, étant une fonction du premier degré en y et s, et Y une

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