482 TROISIÈME PARTIE.

fonction du second degré. En verts da théorème connu sur la compositiondes équations, on aura

X = A(x-X,-J/Y)Cx-X 1 +J/Y) = A(x-X 1 ) , -AY.

Supposons qn'on ait Y z=ay' 1 +a's*+ibyz + etc., et traitons ce polynômede la même manière que X. On posera l'équation Y = o, et on en tirera_y = Y I ± J/Z, en désignant par Y t une quantité du premier degré en z, etpar Z une quantité du second degré. Alors on a

Y = aO-^Y I -Kï)(r-Y I +KZ)=«(j-Y I )’-oZ.

Enfin, supposons qn'on ait Z = , et qu’en posant Z = o, on

trouve ; = Z t ± J/U, Z, et U étant des quantités constantes. Il est clairqu'on a aussi

z=«(* — z — j/u) — z L + f/v )=*(*— zj’-aj.

Maintenant, mettons dans Y cette valeur de Z; et ensuite, dans X, cellede Y ; on obtient

X=A(x—X,)’— A«(j—'Y.}*+ JÛ*fz — Z,)’—AaaU.

Telle est la transformation qu'on peut faire subir au polvnome X, et qu'onvoulait faire connaître.

508. Exemples dans lesquels il y aune infinité de centres situés en ligne droite .Exemple I. Soit l'équation

[ 1 } x’-f-jrd- 2 *’ + ixy -f axs + iyz — ix~ty + iz = o.

S'il y a un centre, il est donné par les équations

x+/+-= ’• j’+x_+5=i, iz+x+y=z — l.

Les deux premières sont identiques, et les deux dernières donnent[a] *=—2, y— — x +3 ;

par conséquent il y a une infinité de centres situés sur la droite représentéepar les équations [a]. En cherchant la section faite par le plan de yz, il vient

y ’+2s’+ay s — 2y-+as=o,

d’où

y ——i-f Irhf/— 2' —4s+i.

Si on égale à zéro la quantité qui est placée sons le radical, on trouvez — —2 ±^ 5 . Puisque ces valeurs sont réelles et inégales, et que z 1 , sousle radical, est précédé du signe — , la section est une ellipse (239;, et parconséquent l'équation [1] appartient à un cylindre elliptique.

Exemple II. Soit l'équation

[1] x’— y *— 2a 1 -faxjr — 4ys-f aj-r as=*.

Les éqiutious dérivées sont

x4-_y=0, y — x + 3Z —1=0, 22 + ’Zy —1=0.