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GÉOMÉTRIE MiALTTIQÜE A TROIS DIMENSIONS.

La première et la troisième donnent[a] x=—y, * = —y+ 5 ;

et ces valëdrs rendent la seconde équation identiqüe, ce qui prouve qu’ilexiste une infinité de centres, dont le lieu est la droitfe des équations JY].En faisant z = o dans [i], il vient

x’—y’-f 2 xy+ày=o, d'où x=— y^J/lÿ 1 — iy;

et on peut affirmer présentement que l’équation [i] représente un cylindrehyperbolique.

Exemple 111. Soit ,

[ 1 ] x’+y’— z 1 — axy+x — ÿ — z = o.

Pour déterminér le centre, on a

1x. — ay+l=o, iy — IX —i=o, — iz —1=0.

La première équation est la même que la Seconde ; ainsi, le lieu descentres est encore une droite. Mais, en posant x=o, l'équation [i] donney = z-f -1 et y — — z; c’est-à-dire qu’on a deux droites non parallèles. Dèslors il est clair que 1 équation [i] appartient à un système de deux plansqui se coupent.

Si on la résout par rapport à l’une des variables, on obtiendra, séparé-ment, les équations des deux plans, savoir : x=y-f-a et x—y — z — i.Exemple IV. Soit l'équation

[i] x’-fy’+la’— 3xz— yz— x+y+a-f } = o.

On reconnaît encore qu’il y a une infinité de centres; situés sdr là droite,qui a pour équations

[»] *=î*+i. r=i*-ï-

Mais quand on cherche l'a section de là surface par le plan de xy, il vientx’+y’— x+y+i=o, d’où y —— i±(x—’)>/—i;

et, pour que y soit réel, il faut faire x = {.

Dans ce cas, la surface se réduit à une droite unique, qui doit être lamême que celle des équations [a]'. Ce résultat se déduit aussi de l’équation [i]en lui donnant la forme (x — \z — {)’+(y — \z+ÿj‘=o.

Exemple V. Dans l’exemple précédent mettons, pour dernier terme , + Iau lieu de + j, on aura cette équation

x’+y’-f |s’— 3 xz —yz — x-f-y-f z+i=o,

qui représente un cylindre imaginaire ; et c’est ce qu’on reconnaît sur-le-champ en l’écrivant ainsi :

(*-i*-i)’+(y-:*+;m=o.

jog. Exemples dans lesquels le lieu des centres est un plan.

Exemple I. Soit 1 équation

[i] x’-fy = -f g*’— axy-ffixE—6ya — x+m — 3a = o