481 TROISIÈME PARTIE.
Dans ce cas, les trois équations dérivées se rédaisent à une seule, savoir :*—y+3s—i=o.
Par conséquent, tous les points du plan que celle équation détermine peu-vent être également pris pour centres. En coupant la surface par le plan dexy f il vient
a^+y— ixy —x-f-y=o, d’ou y=x et y=x—I.Puisqu'ona pour section deux droites parallèles, l’équation [i] représente deuxplans parallèles. Et en effet, si on la résout par rapport à x, on en tirex=y—3s et x=y—3s-fi-Exemple II. Si on a l'équation
[1] x’-fy’+4s’— vxy+Qxs — 4ys — ax+ ay— 4s+l=o,
et qu'on la traite comme la précédente, on trouvera un plan unique dont
l'équation est
x— y-f as — 1=0.
En élevant cette équation au carré, on reproduit la proposée.
Exemple III. Si l'équation donnée est
x’+y’+s’— axy — axs +lys — ax-fay-f as+5=o,on reconnaîtra facilement qu elle représente deux plans imaginaires : ce qui,d’ailleurs, devient évident en l'écrivant ainsi
(x—y—s— l) , +4 = 0.
710. Exemples dans lesquels il n'y a point de centre.
Exemple I. Soit proposée l’équation
|l] x’-f- 3y’-f-as’-f-axy-f-4yx— 3x—qX’—3s=o.
Les équations qui donneraient le centre, s’il y en avait un, sontax+ay=3, 3y-fx+as = 3, 4s-f4y=3.
La première et la troisième donnent x=—y-f-j, s =—y-f-A ; et en mettantces valeurs dans la seconde il vient 3 = 2, absurdité qui montre que la sur-face est dénuée de centre.
Pour la section faite par le plan de xs,. ou trouve l’équation x’-f- 2x’ —3x — 3 s = o, laquelle représente une ellipse : donc la surface est un para-boloïde elliptique.
Exemple II. Soit
[ 1 ] x’ -f-y ’— as’+axy + axs -f- ay s — 4*—ay+as=o.
Je forme d’abord les équations dérivées
x+y + s = 2, x+y-f-s=l, x-f-y —2s = —1;et comme les deuxpremières sont incompatibles, la surface n’a pas de centre.En faisant s=o dans [1], il vient x’-f-y’-f-axy— l\x —ay=o; et commecette équation est celle d’une parabole, on n’en peut rien conclure. Mais enfaisant y=o, on a x’—as’+axs — 4 x + 2i = °> équation qui représente unehyperbole ; donc lu surface est un paraboloïde hyperbolique.