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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
Exemple III. Soit encore l'équation
x’+y-’+g:: 3 — ixy — 6.r z +6/i + 2 x—4 î=0 -Les équations dérivées
x — y — 3 z — —i, y — x + 3£ = o, gz — 3x-f3 i )'=2,étant évidemment contradictoires, la surface n'a pas de centre. En cherchantses intersections avec les plans des coordonnées, on trouveX 3 + y 1 —2Xy+2X=0,x 3 -f gx 3 —6xz + ax—4" = 0 >
r’+gs’+Çr* — 4 *=o-
Ces trois équations représentant des paraboles, on en conclut que la surfaceest un cylindre parabolique.
CHAPITRE XI.
DES SURFACES CONSIDÉRÉES D'APRÈS LEUR GÉNÉRATION.
Règles générales.
711. En considérant les surfaces dans leur génération, on est conduit à desquestions qui exigent l'emploi de la plus haute analyse, et qui ont fait lesujet des plus beaux travaux de Monge. Il ne saurait entrer dans le plan decet ouvrage d’exposer ici ces savantes et difficiles recherches ; je me borneraià présenter les équations de quelques surfaces très-simples, engendrées pardes lignes qui se meuvent et qui peuvent changer de forme d'après des loisdonnées. Or voici, en général, la marche qu’il faudra suivre.
i 0 On écrira d'abord les deax équations de la ligne génératrice, sans avoirégard aux conditions qui règlent son mouvement ou son changement deforme. Il devra toujours y avoir dans ces équations un ou plusieurs coeffi-cients indéterminés, sans quoi elles représenteraient une ligne fixe, qui neserait susceptible d'aucune variation, et qui, par conséquent, ne saurait en-gendrer une surface. Je donnerai le nom de paramètres à ces coefficients.
2° On exprimera par des équations les conditions auxquelles la génératricedoit rester soumise pendant son mouvement. Ces équations devront toujoursêtre en nombre moindre que celui des paramètres : autrement aucun d’eux nepourrait varier, et la génératrice ne pourraitpointsubirde déplacement. D'unautre côté, quand l'énoncé détermine complètement la surface, le nombre deces paramètres ne devra surpasser que d une unité le nombre des équationsde condition ; et il est évident que ce sera la variation de l'un quelconqued’entre eux qui, en transportant la génératrice dans différentes positionssuccessives, et quelquefois aussi en modifiant sa forme, lui fera décrire unesurface, qui est celle dont on demande l’équation. S’il y avait un plus grand