GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4-91
Il est facile de voir, par cette équation, que la ligne de contact est unpetit cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite menée de l'origineau centre de la sphère.
Comme l'origine est placée au sommet du cône, les équations de la géné-ratrice sont simplement
[io] x = ttz, y — ^z;
et, pour qu'elle rencontre le petit cercle, on trouve la condition
(*’+/2’+1)(^’— r )—(y" a +g'^+^) ~0‘
x y
En remplaçant et et ^ par leurs valeurs —et-, tirées des équations de la gé*
z z
nératrice, on obtient l’équation du cône circonscrit à la sphère , savoir :
0r’+ r ’+O (<T-r?) - Ux+gy+h*f= o.
Surfaces développables en général*
727. On nomme surfaces développables celles qui sont engendrées par unedroite qui se meut de manière que, dans chacune de scs positions, elle estdans un même plan avec la position infiniment voisine. Le cylindre et lecône appartiennent à ce genre de surfaces.
728. Une propriété bien remarquable de ces surfaces, et qui est expriméepar leur dénomination même, c’est qu’une portion d’une telle surface étantprise à volonté, on peut toujours l’étendre dans un plan sans déchirure niduplicature. Et en effet, d’après la définition, cette portion de surface étantcomposée d’éléments plans, dont chacun est séparé de l’élément voisin parune génératrice, on peut concevoir que chacun de ces éléments tourne suc-cessivement autour de la génératrice qui le sépare de l’élément contigu ; et,de cette manière, on amènera un premier élément sur le plan du suivant,|l'ensemble de ces deux éléments sur le plan du troisième, et ainsi de suite.
729. Une autre propriété également remarquable des surfaces développa-bles, et qui dérive immédiatement de leur définition, c’est que dans toutesces surfaces, le contact du plan tangent doit avoir lieu suivant une généra-trice entière. La raison en est, comme pour les cylindres et les cônes, qu’unegénératrice donnée est toujours dans un même plan avec la génératrice in-finiment voisine, et que ce plan, prolongé indéfiniment en tous sens, esttangent à la surface en chaque point de la génératrice donnée.
73o* La définition des surfaces développables peut se ramener à un énoncéauquel le calcul algébrique s’appliquera plus facilement qu'à la définitionelle-même ; et c’est cet énoncé que je vais faire connaître.
Considérons la surface qu'on obtient en prolongeant indéfiniment lescôtés d’un polygone ABCD.... (fig. 53 ), dont trois côtés consécutifs quelcon-ques ne sont pas dans lo même plan. Cette surface, ou, si l’on veut, ce po-lyèdre se compose de faces PAQ, QBR,... qui ne sont autre chose que desportions angulaires de plans. Et même rien n'empêche de concevoir toutesles arêtes comme prolongées de l’autre côté du polygone. De cette manière