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TROISIÈME PARTIE.

on tormc une seconde nappe de la même surface polyédrale. et qui est sé-parée de la première par le polygone ABCD,.... de même que les nappesd'un cône le sont par le sommet.

Cela posé, imaginons que le polygone soit inscrit dans une courbe don-née, et augmentons successivement le nombre de ses côtés, ün détermineraainsi une série de polyèdres sur lesquels chaque arête sera dans un mêmeplan avec l’arête immédiatement voisine ; et, par conséquent, la limite deces polyèdres sera une surface courbe douée de la même propriété, c’est-à-dire qu’elle sera une surface développable.

Remarquons en outre, qu’en passant ainsi à la limite, le polygone seconfond avec la courbe donnée, et que les arêtes du polyèdre deviennenttangentes à cette courbe. Donc, en général, une surface développable peut êtredécrite par une droite qui reste constamment tangente à une courbe . Mongk ap-pelle cette courbe arête de rebroussement.

Le cylindre et le cône échappent à cette génération, parce que, dans l'un,les génératrices sont parallèles entre elles, et que , dans l’autre, elles pas-sent toutes par un même point.

y3i. Pkoulkm r. . 'Trouver l'équation d'une surface développable dont on tonnaitl'arête de rebroussement.

Supposons que les équations des projections de cette arête soient

[i] r=<?(*), *=4(- r )>

et 4 étant des signes de fonctions. 11 est facile de reconnaître que les pro-jections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections de cettecourbe; donc, si on nomme a, fi, y, les coordonnées d’un point quel-conque de la courbe donnée, on aura, pour la tangente en ce point, les équa-tions

y—&=q,'(ct)(x — a), * —y = 4'(“)( a ’ — *) !

dénotant par <p' et -J,' deux fonctions qui doivent se déduire des fonctionset On a d’ailleurs entre a, fi, y, les relations

[3] £=<t(*), y — 4M-

Ici les indéterminées a, /$, y, sont celles dont la variation fait mouvoir lagénératrice ; et ce sont elles qu’il faut éliminer entre les équations [a] et [3]pour avoir l’équation de la surface développable.

Il n’y a pas plus de difficulté lorsqu’au lieu des projections de l’arête derebroussement, on donne deux surfaces sur lesquelles cette courbe estcontenue. Mais alors il sera mieux de déterminer la tangente par l’intersec-tion des plans tangents aux deux surfaces.

j3a. Problème. Les équations d'une courbe étant données, reconnaître si cettecourbe est plane ou à double courbure.

Déterminez comme dans le problème précédent le lieu des tangentes àcette courbe; et si elle est plane, ce lieu sera un plan.

Par exemple, soient les équations[4] y — ax^fbx+c, z=sa'x' ,J t-b'x+c'.