GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 493

On aura q'(h) = 2 a*+i, 4/(*) = aa'a+A'. Tar suite les équations [a] et [3]deviennent

y —^ = ( 2 oa+A)(a?—«), 2 — y=c (la'afb') (x — et),

^ — a* 3 +i*+c, y = a'a. : '-{-b , cl-^-c , ;

et c'est entre celles-ci qu’il faut éliminer tt, 0, y, pour avoir le lieu des tan>gentesàla courbe des équations [4].

Par l'addition , on élimine sur-le-champ £ et y ; et on trouve

y= (laz-\-b)x — aa’-f-c, z — (ao'*+A')x—a'st’-f c'.

Puis on élimine * en retranchant ces dernières l’une de l'autre , après lesavoir multipliées respectivement para' et par a. Il vient

a'y—az = ( baca'— ac'\

et comme cette équation représente un plan, on doit conclure que la courbedonnée est plane. •

Surfaces de révolution.

^33. Les surfaces de révolution sont celles qu’on peut engendrer en faisanttourner une ligne autour d’un axe fixe.

On nomme plans méridiens les plans qui passent par l’axe , et méridiensles intersections de ces plans avec la surface. Il est clair que tous les méri-diens sont égaux ; il est également clair que les perpendiculaires abais-sées sur l’axe, des différents points de la ligne génératrice, décrivent descercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe, et qui ont leurs centressur cet axe. Ces cercles se nomment parallèles.

734 . Dans les surfaces de révolution, le plan tangent est perpendiculaireau plan méridien qui passe au point de contact. En effet, le plan tangentdoit contenir la tangente au parallèle qui passe au point de contact (658) :or le plan de ce parallèle est perpendiculaire au plan méridien qui passe parce point, et la tangente est perpendiculaire au rayon qui est l’intersectiondes deux plans ; donc cette tangente est perpendiculaire au plan méridien ,donc le plan tangent l’est aussi.

735. Problème. TJne courbe quelconque étant donnée, trouver l’équation delàsurface quelle décrit en tournant autour de l’axe des z.

Prenez les équations d’un cercle dont le plan soit perpendiculaire àl’axe des z, et qui ait son centre sur cet axe. Elles renfermeront deux in-déterminées qu’on assujettira à l’équation nécessaire pour que le cercle ren-contre la génératrice. Entre cette équation et celles du cercle , éliminezles deux indéterminées , l'équation résultante sera celle de la surface.Soient les équations de la génératrice ,

[■] f(x,x,z)=o, f l (.r,y,z) = o.

Pour plus de simplicité on supposera les axes rectangulaires, et on pourrareprésenter le cercle par les équations

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