GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 499

faces se réunissent toujours par une génératrice le long de laquelle il y aittrois plans tangents communs : car alors elles se toucheront dans toute 1 é-tendue de cette génératrice et pourront être considérées comme n'en for-mant qu’une seule. C'est ce qu'on appelle raccorder les surfaces.

743. Ce qui vient d'être dit se rapporte aux surfaces gauches en général :considérons en particulier les cylindres gauches, qui sont décrits par unedroite qui reste parallèle à un plan et glisse sur deux courbes. Si on mènedes tangentes à ces courbes en deux points d une même génératrice, etqu'on fasse glisser sur elles une dioite parallèle au plan donné, on engen-dre ainsi un paraboloïde hyperbolique : et, en reprenant les raisonnementsprécédents, on arrive facilcmentà conclure que ce paraboloïde est tangentau cylindre gauche en tous les points de la génératrice commune. Alorsaussi il est facile de voir que si deux cylindres gauches ont le même plandirecteur, il suffit qu'il y ait, sur une génératrice, deux plans tangents com-muns, pour que les deux surfaces se raccordent parfaitement.

^44 Considérons de nouveau une surface gauche quelconque, et suppo-sons qu'on veuille construire géométriquement le plan tangent en un deses points : il est clair qu'on pourra la remplacer par une surface du se-cond ordre qui ait avec elle trois plans tangents communs, sur la généra-trice passant au point de contact. Or, on sait qu’on peut mener parce pointune autre droite sur la seconde surface; le plan tangent à cette surface,en ce point,, contient ces deux droites : ce plan tangent sera donc déter-miné; et par conséquent aussi leplan tangent à la surface proposée, car ildoit être le même.

745- Comme on peut mener à la surface donnée une infinité de tangentespar chacun de ses points, il est évident qu après avoir pris trois points àvolonté sur une de ses génératrices, on peut choisird'une infinité de ma-nières un système de trois tangentes passant respectivement par ces points:et dès lors il est évident aussi qu’il existe une infinité de surfaces du se-cond ordre qui sont tangentes à une surfac e gauche suivant une génératrice,et qui peuvent être employées dans la construction du numéro précédent.En général ces surfaces du second ordre sont des hypcrboloïdes; mais rienn'empêche de prendre pour directrices les tangentes menées à trois sectionsparallèles faites dans la surface donnée, et alors elles détermineront unparaboloïde.

On voit même qu'il y a une infinité de paraboloïdes tangents, tels quecelui dont on vient de parler: car on peut varier d’une infinité de manièresles trois sections parallèles. Toute indétermination cessera si ou fait cessections perpendiculairement à la géuéiatrice suivant laquelle la surfaceproposée doit être touchée.

746 . Coupons en effet, ainsi qu'il vient d’être dit, la surface par troisplans perpendiculaires à une génératrice G (fig. 56); et soient ne, bs, et,les trois tangentes qui déterminent alors un paraboloïde hyperboliquetangent à la surface proposée. On sait qu’il doit y avoir, sur ce parabo-loï le, deux systèmes de droites : les unes, telles que G, qui rencontrent