I'J'2. HISTOIRE DES MATHEMATIQUES,contient des racines imaginaires. Et comme lesracines imaginaires vont toujours deux à deux, etque chaque couple forme une équation du seconddegré, le carré de la différence des deux racinesde cette équation est toujours une quantité néga-tive ; d’où l’on voit que si l’équation proposée con-tient des racines imaginaires, il faudra nécessai-ment que l’équation auxiliaire ait au moins autantde racines réelles négatives qu’il y aura de couplesde racines imaginaires dans l’équation primitive.Or, d’un autre côté, M. Lagrange démontrequ’une équation quelconque ne saurait avoir plusde racines positives qu’elle n’a de changemens designes, ni plus de racines négatives quelle n’a desuccessions du même signe. Ainsi, le nombre desracines imaginaires dans une équation quelconque,ne pourra jamais être plus grand que le double decelui des successions de signe dans l’équation auxi-liaire. De toutes ces propositions, il suit que sil’équation auxiliaire a tous ses termes alternative-ment positifs et négatifs, l’équation primitive auranécessairement toutes ses racines réelles, sinonelle aura des racines imaginaires.

M. Lagrange applique sa théorie générale à desexemples : il détermine, d’une manière certaine,les racines réelles, et les quantités réelles qui en-trent dans les expressions des raciues imaginaires,