PÉRIODE IV. CHAPITRE II. I7I

tonnrmens longs, même incertains, quand on n’apas la palience ou le courage de pousser les trans-forma lions aussi loin qu’il serait nécessaire pourobtenir des résultats de signes contraires. M. La-grange obvie à cet inconvénient, en apprenant àformer une autre équation (qu’on peut appelerauxiliaire ), dont les racines sont les carrés desdifférences des racines de l’équation primitive, età déterminer ensuite la plus petite limite des raci-nes de cette équation auxiliaire; la racine carrée decelle limite sera moindre que la plus petite diffé-rence enlre les racines de la proposée; et il est clairque si l’on substitue d’abord ce nombre, puis sondouble, son triple, etc., à la place de l’inconnue,dans la proposée, on obtiendra nécessairement desrésultats de signes contraires, ce qui fera connaîtreles limites de ses racines.

Ces limites une fois trouvées, M. Lagrange ap-proche de plus en plus des véritables valeurs, parle moyen des fractions continues, dont personne,avant lui, n’avait fait cet usage.

En supposant que les racines de l’équation pri-mitive soient réelles, il est évident, que toutes lesracines de l’équation auxiliaire sont réelles et posi-tives ; d’où il suit, par la règle de Descartes , queles termes de cette équation doivent être alternati-vement positifs et négatifs. Si celte condition 11’apas lieu, on sera sûr que l’équation primitive