» Cardani regularum inventio per algebram nostram , quam tantopereexponi tibi desideras, ea est hujusmodi. Proponatur aequatiox 3 =—px - 4 - ^ , h. e. x 3 + px — q=o, sitque invenienda quantitas x.Augeatur radix quantitate aliqua incognita z, ut sit x+z = y, hoc estx=zy — z; ergo x 3 = yz — 3 y a z + 3 y z a — z 3 , et loco prius expositaeaequationis , quae erat x * +px — q — o , erit ista :y 3 — 3y a z + 3yz 2—z 3 +p y —p z — q = o, Hic , quoniam —3 z + 3 y z a fit ex ductu y —zin —3 y z, et rursus quod habetur +p y — pz ex y — z in -\-p ,apparet quod, si 3 y z sit -=zp , tum se mutuo tollent dicti termini— 3y y z + 3 y zz et -+-p y — p z , solique restabunt y 3 — z 3 — q — o.

Sit igitur 3 yz-=.p y ergo z = §• JL , et aequatio erit y 3 — g 7 .P- —q = o.

y y

Unde y 6 = qy 3 + £rP 3 , quae quadrata aequatio est, fitque y 3 —\q■+-^ + 3 ; quare y ={/' Qjlq+^iq q + v?p 3 > Cognita jam

p

quantitate y , non ignorabitur z, quae erat = —. Erat autem

>X =\/Qjir • T ■ T ^

x—y — z, ergo.

v QJiq+^ *qq+£rP*-

Quae regula facilior videri possit quam Cardani illa, quoniam semeltantum radicem cubicam extrahere opus sit. Caeterum ut ipsam Car-dani regulam exhibeamus, quantitatem z similiter ut y ex praecedenti-bus inveniemus. Nimirum ex eo quod ponebatur 3 y z—p , fît y = § .

Z

Unde , loco superioris aequationis y 3 —z 3 — q=zo , erit

— q—o,

hoc est z 6 — — qz 3 + J f p 3 . Unde z — ^/Qj — \q+ ^\q q+hP* •Cum itaque fuerit x — y — z, erit jam x =r j /Qj § q + V £ q q +

-]/& -z-li + V^qq + 2 V p 3 , quae Cardani regularum una est.Altera simili methodo invenitur in hunc modum. Detur x 3 —px + q ,sive x 3 —px — q—o. Diminuatur radix quantitate incognita z , ut