ALGJ-BKE.

Les deux racines , les deux valeurs de l'in-couuuese mettent sous la forme

X = 2 ( - P± V' /' 2 - ty )>uo encore

x =- 2 ■ + y/pi

qu'il est facile d’énoncer en langage ordinaire.

si l'on voulait ne conserver que des cuefli-cieuts entiers dans l’équation primitive, onla mettrait sous la forme

ax 2 -j- bx + c — o

rt les racines seraient de la forme pins géné-rale

+ V fP — hac

l.o solution des équations du second degréconduit à la considération des quantités ima-ginaires t qui n’ont qu’une existence symbo-lique et qui diffèrent essentiellement desquautilés réelles. En effet, si, dans les va-

leurs (1), (2) et (3), les quantités ■ —, t-- - q

et lP — 4 ac sont négatives, aucune valeurréelle positive ou négative , mise à la place«le x dans les équations primitives ne sau-rait y satisfaire.

Toute racine imaginaire d’une équation dusecond degré peut se moitié sous la 'forme

«/ j ~_l> Z — 1,

dans laquelle a et b sont des quantitésréelles.

ItACINE CARRÉE DES QUANTITÉS LITTÉRALES. —La solution des équations du second «legreexige que l’on sache extraire les racines car-rées des quantités algébriques.

Pour extraire la racine carrée d'un mo-nôme , il faut extraire la racine cari ée ducoefticient numérique , et diviser par 2 l'ex-posant de chacune des lettres de ce mo-no me.

Lorsque l’opération ne peut se faire complè-tement, on a un radical du second degré.

Deui radicaux sont dits semblables lorsqu’ilsne diffèrent que par les quantités qui multi-plient le radical. Tels sont 5 y/ 2ab et

3 { c-f d)y/ 2 ab.

Pour combiner, par voie d’addition ou desoustraction, des radicaux semblables, ilsuffit de faire ces opérations sur les multipli-cateurs des radicaux, et de donner au résultatle radical commun.

Pour obtenir le produit ou le quotient dedeux radicaux du second degré, on failleproduit ou le quotient des quantités placées

sous le signe \/ , et on le couvre du même

signe.

Pour faire sortir du radical les facteurs quisont des carrés parfaits, il suffit de placer lesracines de ces cairés comme facteurs eu avantdu radical.

Pour faire eimer un facteur sous le radicalil faut élever ce facteur au carré. ’

Le procédé d'exlractiou de la racine carréed’un polynôme se déduit de ia loi de forma-tion du carré, savoir que le carié d’un polv-nome d'un nombre quelconque de ternies secompose du carré du premier ferme, du dou-

ble produit du premiet terme par le second,du carré du second , des doubles produits dechacun des deux premiers termes par le troi-sième, du carré du troisième, des doubles pro-duits de chacun des trois premiers par le qua-trième , du carré du quatrième , et ainsi desuite.

II s'ensuit que, pour extraire la lacinccarrée d'un polynôme., il faut l'ordonner parrapport aux puissances croissantes ou décrois-santes de la môme lettre; extraire la racine dupremier terme, ce qui donne le premier termede la racine ; supprimer le premier terme dupolynôme, et diviser le premier terme dureste par le double du premier terme de laracine , ce qui donne le second terme de laracine ; retrancher du reste le double produitdu premier terme de la racine par le secondet le carré du second; diviser le premierterme du second reste par le double au pre-mier terme de la racine, ce qui donne letroisième terme de cette racine ; retrancherdu second reste les doubles produits du pre-mier et du second termes par le troisièmeet le carré du troisième terme ; diviser lepremier n rme de ce troisième reste par ledouble du premier terme de la raciue,ce quidonne le quatrième terme de cette racine, etainsi de suite.

L'extraction de la racine d’un polynômequi n'est pas un carré parfait, conduit, commela division, à des séries d'uu nombre indé-liui de termes. Ainsi, eu employant la nota-tion des exposants négatifs, l’extraction de laracine du binôme — 4 ac, qui ne peut ja-mais cire un carré parfait, donne la série

b — 2 acb~" * — 2« 2 (P b~~ 3

— 4 a c b — ete.

Lorsque l’on a à extraire la racine d’une ex-pression de la forme a -f s/b~ y le résultats'obtient au moven de ia formule

qui donue lieu à une simplification notablesi a~ — b est un carré parfait.

Équations du second degré a plusieurs in-connues. Considérons seulement le systèmede deux équations à deux inconnues.

si l'une d’elles est du premier degré, on entire la valeur d'une des inconnues, et, ensubstituant cette valeur dans l'autre équation,celle-ci devient du second degré à une seuliinconnue. On peut donc la résoudre facile-ment.

Si une des équations est du premier degrépar rapport à l'une des inconnues seulement,on eu tire la valeur de celte inconnue, quel’on substitue dans l'autre équation ; on aalors une équation du troisième degré.

Enfin , l’élimination d'une des inconnuesentre deux équations complètes du second de-gré à deux iuconnues conduit à une équationdu quatrième degré.

5 5 . Diverses applications des notationsalgébriques.

I.'emploi des signes et des notations algé-briques facilite considérablement la décou-verte des propriétés des nombres. Il suffit