l'RACTIONS CONTINUES — DE LAMBERT.

78

aussi d'appliquer ces signes et ces notationsaux faits que nous avons énoncés en arillimé-tique relativement à la divisibilité, aux frac-tions décimales, aux proportions, aux progres-sions et aux logarithmes, pour généraliserces faits et voir en quoi ils sont applicablesaux systèmes de numération différents dusystème décimal.

Fractions continues. — On appelle ainsitoute expression de la forme

ft +

I)

H + etc.

Mais on ne considère ordinairement que lesfractions continues dans lesquelles les numé-rateurs B, C. D, sont égaux à l'unité , c’est-à-dire celles qui sont de la forme1

d -f- etc.

a, b, c, d, sont les quotients incomplets.

.Milord Urouncker est le premier qui ait ima-giné les fractions continues ; mais les pro-priétés et les avantages de ces expressionsont été découvertes principalement par lluv-gens.

four réduire une fraction ordinaire telle que* 8 " 8 0 - 3 en fraction continue, on suit le pro-cédé usité pour la recherche du plus grandcommun diviseur entre les deux termes; lesquotients successifs sont l, A, y, 2, 1, 1 , A, etla fraction continue s’écrit ainsi .

no.

8 » 7

2 +-

A

Quand on veut revenir de la fraction eonli-mie à la fraction qui a servi à la former, onprend les quantités consécutives

0

1. I -j-v

A

ou en réduisant

etc.,

1

A

AG

— » etc.37

Ces nouvelles fractions sont appelées ré-duites.

Lorsqu'on connaît deux réduites consécuti-M P R

ves,— et-, la réduite suivante —cor-

N Q S

respondant au quotient incomplet r, s'ob-tient au moyen de la formule.

U _ Pr + M

S Q/-+N

La véritable valeur d'une fraction continueest toujours comprise entre deux réduites con-sécutives, lesquelles sont alternativement, àpartir de la première , plus petites et plusgrandes que cette valeur.

l es réduites sont toutes irréductibles.

La différence entre deux réduites consécu-tives a pour numérateur l'unité et pour déno-minateur le produit des dénominateurs de cesréduites. L'erreur commise en prenant une ré-duite quelconque pour la valeur de la fractionest donc moindre que cette expression de ladifférence.

line réduile— exprime la valeur de !n

Q

fraction continue plus exactement que Joutefraction dont le dénominateur est moindreque Q.

Pour la conslruction de son automate pla-nétaire , Huygens avait à établir les rouesd'engrenages dans des dimensions détermi-nées par les éléments du système solaire, etdont les rapports étaient exprimés par de très-grands nombres, atin de ne pas multiplier pro-digieusement le nombre des dents, il cherchaa simplifier ces rapports. Les fractions conti-nues le conduisirent h ce résultat, et les pro-priétés des réduites lui apprenaient la valeurde l'approximation qu'il obtenait.

Toute fraction continue périodique simple oumixte exprime l'une des racines d’une équa-tion du second degré.

Evariste Galois , jeune géomètre du plusgrand mérite, qu’une lin tragique et préma-turée a enlevé à la science en 1833, n'étantencore qu'élève de mathématiques, avait trou-vé, en 1820, quelques propositions fort élé-gantes à ce sujet. Il a démontré que si l'unedes racines d'une équation du second degré estune fraction continue immédiatement pério-dique, on obtiendra l’autre racine de celteéquation, en divisant l'unité négative par lafraction’ continue périodique renversée. Desorte «jue les valeurs.

et

«*•=3 1 - ]

~ i H- i

3 + -k..

t

x = — - i

1 + ^f + .L «

sont nécessairement racine d'une même équa-tion du second degré, qui est effectivement3x 2 - 8x - 7 = 0

Galois a démontré en outre que , pour qu'ilen soit ainsi, il faut que i'une des racines soitplus grande que l'unité , et que l'autre soitcomprise entre 0 et — 1 ; et que réciproque-ment il en est toujours ainsi lorsque les deuxracines sont comprises entre de telles limites.

Enfin, Galois a prouvé que toute équation dusecond degré de la forme

ax “ — bx — a = 0

a ses racines non-seulement également pério-diques, mais encore symétriques ; de telle sorteque les dénominateurs également distants desextrêmes sont égaux entre eux.

Euler , Lagrange, l'un des Bernouilli,M. Wronski ont beaucoup cultivé la théoriedes fractions continues.

Fractions de Lambert. Lambert, l'un desgéomèlres les plus distingués du siècle der-nier, petit-fils d'un des Français expatriésaprès la révocation de l'édit de Nantes , a pro-posé le premier une espèce de fractions p««uconnues, et qui ont l'avantage singulier de for-mer des suites plus convergentes qu’aucunesérie géométrique ; c'est-à-dire qu'aucune suitede termes décroissant, suivant une progres-sion géométrique, n'approche plus d'une cer-taine valeur déterminée,pour le même nom-bre de termes.

Lagrange s'est aussi occupé de ces fractions