AUil-r.m;.

7‘J

S o

qu'il a rattachées aux fractions continues ,dons le 5 e cahier du Journal de l'Ecole po-lytechnique.

’ i'our en donner une idée, prenons la fraction

-.Divisons H03 par 887, ce qui donne

H 03

pour quotient t, et pour reste 210; puis H03par 2tG, ce qui donne pour quotient 5, et pourreste 23; et ainsi de suite en prenant toujoursle même dividende 1103. et pour diviseurs lesrestes consécutifs; les quotients successifs se-ront

1, 5, 47, 50, 307, 55), 1103.et les restes

2)6, 23, 22,3, 2, I.on posera alors

-—= i _-Lq- J- ~ —î-

1)03 5 5 47 5.47.50

1 1

5.47.50.307 5.47.50.367.55)

5.47.50.367.551.1)03

Un faisant la même opération sur la frai -lion ,

)41592653589793238 5C2Gi3

ioooooooooooooooooooooooo

qui, ajoutée au uonibre entier 3, exprime lerapport ^ de la cireonférence au diamètreIvoy. la Géométrie col. 121), nous aurons

1 1 1

7r =3-|-(-oie.

7 7.113 7.H3.4739

Ici les divisions ont été faites en dedans ouen dehors , suivant qu'il a été nécessaire pourque chaque reste soit moindre que la moitiédu prêt édent.

Les deux premiers termes donnent le rap-22

port d’Archimède *— ; les trois premiers don-

. , 355

nent le rapport d’Adrien Métius—.

113

PROGRESSIONS par différence et par quo-tient. Soient </et à les premiers termes de deuxprogressions, l'une par différence , et l'autrepar quoiienl; n et N les derniers termes,qui en ont m — \ avant eux; rel K la diffé-rence et le quotient constants; s et S les som-mes des ternies des deux progressions ; P leproduit de tous les termes" de la progressiongéométrique, ou aura les formules

m — \

S = -i. ( a + n I m, P = {/ K m N"*

N 11 - A _ A 11\ m - 1 )

11 - I ~ 11-1

Ou reconnaît encore, à l'inspection de cesformules, l'analogie déjà si nalée entre lesopérations relatives aux deux espères de pro-gression. (Voy ARITHMÊT1V1.E, col. 38, 41 et 42.jLes 2 équations relatives aux progressionspar différence servent à déterminer 2 des 5quantités a, n , m, r , s lorsque l'ou connaît les3 antres ce qui donne lieu à 10 problèmesdifférents. Les 3 équations relatives aux pro-gressions par quotient donnent lieu à 2n pro-

blèmes différents lorsque l'on veut déterminer3 des 6 quantités A, N, m, K, S, P connaissantles 3 autres.

Exponentielles f.t logarithmes.— Parmi cesproblèmes, ceux 0C1 m est inconnu conduisentà des équations de la forme a x =/->, auxquel-les on donne le nom d 'exponentielles, a etb sont des quantités connues.

Pour résoudre l'équation a x = b , on formeles puissances successives de a ; on trouve que

b est compris entre a tl et a n + *.b

En posant ~ = c, on opère de In même

manière sur l’équation c x = /t, et on trouve acompris entre c n et c n "H .

En continuant de la mémo manière, onaura x sous forme de fraction continue , suvoir :

x = n -j- t

n' 1/?' - f

n'" -}- , etc.

Si on suppose que dons l’équationa x = 7 /

a conservant la même valeur, ou cherchetoutes les valeurs de x qui correspondent atoutes les valeurs possibles de y , les premières11e seront autres que les logarithmes des se-condes.

a est la base du système de logarithmes.Pour passer d'un système de logarithmes cal-culé dans la base a , aux logarithmes de labase b , il faut multiplier les premiers par unnombre constant M , qu'on appelle module, etqui n'est antre chose que le quotient de l'unitépar le logarithme de la nouvelle base b calcu-lée dans le système dont In base est a.

Nombres polygones. — si on considère laplus simple des progressions arithmétiques,savoir :

4 t. 2. 3. 4. 5. 6. 7_

et qu'on prenne les sommes du premier, desdeux, des trois, des quatre... premiers termes,on uura la suite

I, 3, 6, 10, 15... qu'on appelle triangulairesou trigones parce qu'on peut toujours rangereu triangles autant de points qu'ils contien-nent d'unités, comme on le voit ci-dessous.

1, 3, 6, 10, 15, etc.

et te côté de chaque triangleest l'un des nom-bres de la suite naturelle 1, 2, 3, 4, etc.

I.es nombres IrigoDes sont représentés parla formule

^ (ti 2 + Tl) ou ^ Tl ftt-H).

En prenant la progression arithmétique.

•f 1 . 3 . 5 . 7 . 9. H . t3 . 15 . etc., dont laraison est 2, on en déduira de même les som-mes 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 04, etc.qui forment les nombres quadrangulaires oucarrés, dénomination justiiléc par les figuresci-dessous :

1, 4, 9, IG, 25, etc.