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NOMBRES POLYGONES ET FIGURES.

O

La formule des carrés est n .

La progression arithmétique

4-1 . 4 . 7 . 10 . 13 . <6 . <9 . etc.,dont la différence est 3, donnera, pour la som-me d’uo, de deux, de trois termes les nombres1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, etc.,qui portent le nom de pentagones , et quisont compris dans la formule (3 /t 2 — n ) ou*- n 13 n — 1 >

~ On trouvera de la môme manière les nombreshexagones , heptagones , octogones, etc.

Pour représenter par des points les polygonesd'un nombre quelconque de côtés, on com-mence par tracer un polygone régulier qui aitle nombre de côtés demandé ; ce nombre resteconstant pour une même suite de nombres po-lygones et il est égal à la différence de la pro-gression arithmétique qui est l'origine de lasuite, augmentée de 2. On tire ensuite d'undes sommets du polygone des droites indéfi-nies è tous les autres sommets; ou prend sili-ces droites des longueurs égales à un certainnombre de fois leurs parties comprises entrel'origine commune et les divers sommets dupremier polygone; on joint par de nouvellesdroites parallèles aux côtés de ce polygone lespoints où le compas s'est arrêté, et on portesur ces droites des parties égales aux côtés dece même polygone.

Les deux figures suivantes représentent lesconstructions exécutées pour les nombres pen-tagones et hexagones.

La formule générale des nombres polygo-nes de l'ordre m, pour le côté n est(m —2 | n 1 — { m — 1 \ n

HH

Pour reconnaître si un nombre est polygone del'ordre m t i 1 suffit de le multiplier par le nombi <-8(m—2)et d’ajouter au produit lecarré (m—1| 2 ;si la somme est un carré parfait a 2 , le nom-bre proposé est un polygone de l'espèce déter-minée.

Dans ce cas, le côté n auquel correspond lepolygone, s'obtiendra par la formule

a 4 - m — \

n = -

2 \ m ~ 2]

Nombres figurés. — Quelques auteurs con-fondent a tort les nombres polygones» dont ilvient d'être question, et qui dérivent de pro-gressions arithmétiques différentes, avec lesnombres figurés dont chaque série dérive de-là môme progression arithmétique.

Ainsi, en ajoutant les termes de la premièreprogression

! t . 2 . 3 . 4 . 5 . 0 . 7....

on n la suite

P. u ajoutant les termes de celle-ci, on a la suiteI, ï, 10, 20, 33, 56, etc.

qui forme les nombres pyramidaux. En con-tinuant delà mômenioniôrc, on tire de la pre-mière progression les nombres figurés dupremier ordre.

Les nombres figurés du second ordre déri-vent pareillement de la seconde progression

4-1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 13...

et sont

1. 4, 9, 10, 25, 36, 49, 64.

1, 5, 14, 30, 55, 9t, 140, 204, etc.

Les nombres figurés de l’ordre m dérivent«le la progression par différence

4-1 .1 + m . 1 4- 2 m . 1 + 3«.1 + 4m.

La somme des nombres pyramidaux de l'or-dre m — 2 s'obtiendra par la formule

n 3 |m - 2 > + 3 n 2 - n [ m - 5 I

6

Si m — 2= i, elle devientn I n + 1 ) t n + 2 >

J 1. 2. 3

Si m — 2=2, elle devieutn { n + \ ) ( 2 rc -f 11

re*+3tt a +2/t

0

3

2 n -f 3 n -f //-

Triangle arithmétique db Pascal. — Cittefigure, due au génie de notre Pascal, jouit depropriétés remarquables.

On voit que les cases de la première bandehorizontale ne contiennent que l'unité. Danschacune des bandes suivantes, le nombre d’unecase quelconque est égal à la somme des deuxnombres contenus dans la case voisine à gau-che, et dans la case immédiatement supérieureà celle-ci.

Le premier nombre de chaque bande est l'u-nité, et l’origine de chaque bande recule d'unecase vers la droite.

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