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1
l.a première propriété du triangle arilliiné-ti<jue est de donner, dans ses bandes horizon-tales, les nombres Ügurés du premier ordre.
l.a seconde bande comient les nombres na-turels; lu troisième, les nombres triangulaires;la quatrième, les nombres pyramidaux, etainsi de suite. #
Ou retrouve les mômes nombres dans lesbandes parallèles à la diugonale ou ù i'hvpu-ihénuse du triangle.
ItiNOMB de NewTos. — Mais la propriété laplus remarquable consiste en ce Que les ban-des verticales renferment les coefUcients riesdifférents termes d une puissance quelconqued’un binôme x a.
l.a bande verticale qui » le nombre naturel1 , correspond à la première puissance. I.escoefficients sont l et I.
La bande où est le nombre naturel 2, cor-respond ù la seconde puissance. Les coefUcientssont i, 2, et i.
Pour la troisième puissance, on trouve demôme les coefUcients i, 3, 3, \ ; pour la qua-trième, 1, 4, 6, 4, l, etc.
on pourra donc former une puissance quel-conque du binôme x + a , au moyen du trian-gle arithmétique, si l’on connaît la maniérédont les lettres x cl a entrent daus cette puis-sance.
Or la somme des exposants de ces lettres,dans chaque terme, est constance et égale audegré de la puissance, depuis le premier termequi ne renferme que x, jusqu’au dernier quiue renferme que a ; les exposants de x vonteu décroissant d’une unité, et ceux de a encroissant d'autant.
Ou aura donc
| x + a } * = x -f a
| x + a ) 2 = x 2 -j- 2 ax -j- u 2
| x + a I 3 = x 5 + .! ax 2 + Il « 2 x 4- a 5
I * + a ) 4 = x 4 + 1 ax 3 + c a - x 2
-M « ! a: + « *et plus généralement
x -j- a \ m =. „
Si
ni \m—\) (/<•; -2|.... {ni— /i-f-l)
I. 2.
;l...
Celte belle formule est duc à Newton, qui l'atrouvée par induction; elle porte son nom.
Des comiiivaisovs.— On appelle ainsi tous lesproduits différents que l'on peut former avecni lettres prises n à n.
On distingue les combinaisons des permittâtions en ce que plusieurs de ces dernièressont composées entièrement des mômes lettresécrites seulement dans un ordre différent.
Ainsi tes quatre lettres a, b, c,d, prisesdeux à deux, donnent les six combinaisonsa b , ac , ad , bc , bd , cd t ’et U6 douze permutations
a b , ac , ad , bc , bd , cd ,ba , ca , da , cb , db , de ,l.e triangle arithmétique peut servir à dé-terminer le nombre des combinaisons de nilettres n à n. S’il s’agit, par exemple, de trou-ver .ce nombre pour nuit lettres prises trois ùtrois, on descendra daus la bande verticale quicorrespond au nombre naturel 8, jusqu'à larencontre de la quatrième tranche horizontaie, et on trouvera 56 pour le nombre cher-che.
La formule du binôme conduit au môme ré-sultat. Car le coefUcient du terme qui eu a navant lui exprime précisément le nombre decombinaisons de ni lettres prises n à n. Or cecoeflicient est
ni l/n — l) fut — 2 ... [ni - «+ 111 . 2 . 5 .... n
en y faisant /n = 8 et « = 3, on a8 . 7 . C
1.2.3
- = 56 .
Ces rapprochements entre les nombres ügu-rés du premier ordre, le triangle de Pascal, lebinôme de Newton et la théorie des combi-naisons sont très-remarquables.
Le nombre de permutations de m lettres nà n est
ni \ m — \ i (ni — 2).... (ni — n+ ! )
et le nombre de permutations de n lettres n àn est
\ . 2 . 3 . 4 .... | n - I ) n.
Si donc on a un mot quelconque, par exem-ple amor, et qu'on veuille savoir combien demots différents on peut former avec ses quatrelettres, ce qui donne toutes les anagrammespossibles de ce mot, on trouve qu'ils sont aunombre de vingt-quatre, savoir, le produit desnombres consécutifs 1, 2, 3. A.
Un mot de cinq lettres donnerait Heu à 120permutations ; un mot de six lettres à 720 , desept lettres à 5040, etc.
Mais si dans le mot proposé il y avait uneou plusieurs lettres répétées , il faudrait divi-ser, pour chacune de ces lettres, par le pro-duit des nombres entiers consécutifs i, 2, 3,...n, n étant le nombre de fois qu'elle est répé-tée. Ainsi le mot Léopoidus, ou les lettres l eto entrent deux fois, n'est susceptible que de90720 anagrammes différents au lieu de362880 qui s'y trouveraient si aucune lettren’était répétée; le premier de ces nombres estégal au second divisé par 2 et encore par 2.
Le mot studiosus où Vu est répété deux foiset Y s trois fois n'est susceptible que de
t. 2