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ALGÈBRE.

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TÂ

S G. Propriétés générales des nombres.

Les anciens philosophes avaient fait des re>cherches assez étendues sur les propriétés desnombres. Ou trouve des fragments curieux deces recherches dans Euclide , et surtout dansDiophante . Depuis ce dernier Jusqu'au tempsde Viète et de Bacbet, les mathématiciens con-tinuèrent de s'occuper des nombres, mais sansbeaucoup de succès, s'attachant pluiôt è desrapprochements puérils et à de prétenduespropriétés mystérieuses, qu'a des éludes soli-des et approfondies. Fermât, qui suivit de prèsViète et Barbet, se fraya des routes nouvellesdans cette voie. On a de lui un grand nom-bre de belles propositions, mais qu'il a pres-que toutes laissées sans démonstration, il afallu le génie des Euler , des Lagrange, desLegendre, des Cauchy , etc., pour arriver àdes démonstrations rigoureuses de ces théorè-mes intéressants.

Des nombres premiers . — Pour trouvercombien de fois x un nombre premier a estfacteur dans la suite naturelle des nombresdepuis t jusqu'à n , ou ce qui revient ou même,quelle est la plus grande puissance de a quidivise le produit 1.2.3.... n , ou prendra Jaformule

* =e Q + e (^) +e (5) +elc •

ou

représentent les plus grands entiers contenusdans les fractious

n

a

n

a'

n

a suite étant prolongée tant que le numéra-teur «est plus graud que le dénominateur.Ainsi, pour savoir combien de fois le fac-

teur 7 se trouve dans le produit des nombresnaturels de 1 à tOOOO, on prendraE (LM !!) = ,/, 28E ) = 20 ’i

E (îfS) = »

E (V)

Somme. 1065

Donc le produit dont il s'agit est divisiblepar 7 élevé à la seize cent soixante-cinquièmepuissance.

Tout nombre premier, excepté 2 et 5, estcompris dans la formule

üx + 1

mais la réciproque n'est pas vraie, c'est-à-direque cette formule donne d'autres nombres eDmême temps que les nombres premiers.

En faisant a:r=0,1,2,3,4,5.6,7, etc.la formule avec le signe + donnera les nom-bres

et avec le signe —

i, 5, 11, t7. 23, 29, 35, 41, etc.

25 dans la première série et 35 dans la secondene sont pas des nombres premiers.

Il n'existe aucune formule algébrique pro-pre à n’exprimer que des nombres premiers.

Il est néanmoins quelques formules remar-quables par la multitude des nombres premiersqu'elles comprennent. Telles sont : la formule

x 2 + x + n

dont les 17 premiers termes sont des nombrespremiers; la formule

2x 2 29

dont les 29 premiers termes le sont; la for-mule

x 2 -1- x + 4i

dont les quarante premiers termes le sontaussi.

C'est-à-dire que si l'on fait dans ces formu-les successivement X — 0, 1,2, 3, 4, 5, G... lesnombres qui e» résultent, et qui sont, pour lapremière, 17, 19, 23 , 29, etc.; pour la seconde,29, 3i, 37, 47, etc.; pour la troisième, 41, 43,47,53, 61,71,... etc., sont des nombres pre-miers jusqu'aux limites indiquées.

Ferma t avalt annoncé (sans dire qu'il eu eût lax

démonstration] que la formule 2 -f- 1 donnaittoujours des nombres premiers pourvu qu'onprit pour x un terme de la progrefSion double1, 2,4, 8, 16... Mais Euler a trouvé que cetteformule était en défaut pour x = 32, car il enrésulte le nombre 4 29’i 967 297 divisible par611 et qui donne pour quotient 6 700 417.

Quoique la suite des nombres premiers soitextrêmement irrégulière, on peut cependanttrouver avec une précision très-satisfaisantecombien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu'àune limite donnée x. La formule qui sert 5résoudre cette question estx

2,302585. LOga — 1,08366En effet, si on compare le résultat tiré decette formule avec l'énumération immédiatefaite dans la table que nous avons donnée'pour les nombres premiers de 1 à 10 (HW(voyez arithmétique, col. 13,14 et 15), on trouve1230 des deux manières.