f'ROPUIKTÉS DIVERSES Dr.S NOMHKES.
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Legendre, auquel est due celle belle for-mule , l'a vérifiée au moyen des labiés deVéga qui renferment les nombres premiersjusqu'à 400 000. En donnant à x celle voleur,ou trouve y — 33 854 : le compte direct, dansles tables de Véga , donne 33 861.
l.e Cribrum arithmeticum de M. LadislasCheruao, qui s'étend jusqu'à l 000 (MM), a fournià Legendre une nouvelle vérilicotion ; car ontrouve dans cette table 78 493 nombres pre-miers, et la formule en indique 78 543. Le ré-sultat fourni par celle-ci n’est donc erroné que
de 50 unités sur 78493 ou de-environ.
15"0
Des nombres parfaits. — Ou appelle ainsiCéuxqui sont égaux à la somme de leurs par-ties al iquotes. Tel este, qui est égal à la sommede ses parties aliquotes l, 2, 3. Tel est encore28 “ t 4* ^ + 4 + 7 -|- 14.
Pour trouver des nombres parfaits, il fautprendre la progression double2, 4, 8, tC, 32, 64, 128, 256. 512, 4024. 2048, etc.,et examiner ceux de ces termes qui, diminuesd'une unité, sont des nombres premiers. Ceuxqui jouissent de celle propriété sont 2, 4, 8, 32,128 , 8192; car diminués d’une unité ils don-nent t, 3, 7, 3t. 127, 819t. On multipliera cha-cun de ces derniers nombres par celui de laprogression géométrique qui précède celuidont il dérive, par exemple 3 par 2, 7 par 4, 31par 10; et on aura 0, 28, 496, 8128, 33550336qui seront des nombres parfaits.
Tous les nombres parfaits sont terminés par« ot. 28.
Euclide a démontré (Eléments , liv.9, prop.36) quesi2 /l — 1 est un nombre premier,—1 |2 W —i)ost un nombre parfait. Onaura donc encore dans la série des nombresparfaits, outre ceux qui viennent d'ètre cilés,les suivants :
2 !C (2 17 - I) =8580809051!
2* 8 (2 1 9 - | ] = (37538091328
2 3 0 |2 ! 1 - I ) = 23058'.30081399521283 1
2 — 1, qu’Euler assure être premier, est
le plus grand nombre premier connu jus-qu’ici, et par conséquent 2 3 0 (2 3 1 — 1 1 est leplus grand nombre parfait connu.
Des nombres amiables. — On appelle amia-bles entre eux deux nombres tels que les par-ties aliquoles de chacun d'eux forment unesomme égale à l’autre. Tels sont 220 et 284 ;car 220 est égale à la somme des parties ali-quoles de 284, savoir 1, 2, 4, 71, 142 ; et réci-proquement 28-4 est égal à la somme des par-ties aliquotes 1, 2, 4, 5, 10, H, 20, 22, 44, 55,110, du premier 220.
On trouvera des nombres amiables par laméthode suivante. Ecrivez, comme on le voitci-dessous, les ternies de la progression géo-métrique double, en commençant par 2; tri-plez chacun de ces termes, et écrivez les pro-duits sous les nombres qui ont servi à les for-mer; ces ternies triples diminués d’une unitéformel ont une nouvelle suite 5. H, 23, etc., quel’on placera au-des>us de la première. Enlinon aura les termes de la suite inferieure 71,287, etc.; en multipliant chacun des termes dela suite 6,12, 24. etc., par sou précédent et di-minuant le produit de Tunité
5
11
23
47
95
191
283
2
4
8
16
32
64
128
6
12
24
48
96
192
384
71
287
1151
4007
18431
73727
Prenez un nombre de la suite inférieure, parexemple 71, dont le nombre correspondant dela suite supérieure savoir 1i, et celui qui pré-cède ce dernier savoir 5, soient, ainsi que 7t,des nombres premiers; multipliez 5 par It etle produit 55 par 4 terme correspondant de laprogression géomélrique: le produit 220 seral'un des deux nombres cherchés. Le second setrouvera en multipliant 71 pur 4, ce qui don-nera 284.
De même avec 1151, 47 et 23, qui sont desnombres premiers, on trouverait doux outresnombres amiables 17290 et 184162; mais 460"n’en donneruit pas, parce quedes2 autres nom-bres correspondants, 95 et 47, 95 n’est pas pre-mier. Il en est de même de 1843t. Mais 73727donne avec 383 et 191 deux nouveaux nombresamiables 9 363 584 et 9 437 056. En employantles symboles algébriques, les suites précé-dentes deviennent
2 . 3—1, 2 2 .3-1, 2*. 3-1, 2*. 3—1, etc.
lu- \
.3, - 3 .3, 2*. 3, etc.
.:t 2 -t,2 5 . 3 2 -i, 2* . etc.
. 3 2 —I, 1 n . 3-1 et l n ~' .3-1
sont des nombres premiers, les nombres
3—1) |2' i .3-l)2 w el (2 2n_l . 3 2 - 1| •>"seront amiables entre eux.
On ne connaît que ces trois couples de nom-bres amiables. Ils ont été donnés par Schooten,dans ses Exercitatianesmathematicœ, sect.9. Le terme amiable lui est dû, quoiqueDesenrles, Kudolff et d’aulres aient, avant lui,traité de ces nombres.
Des triangles rectangles en nombres.— Troisnombre, tels que le carré du plus grand équi-vaut à la somme des carrés des deux autres,sont ce que l’on appelle un triangle rectan-gle. On peut douner pour exemples simples lesnombres 3, 4, 5
et ii, 13, car
13 2 = 5 2 -h 12 2 .
On peut trouver tant (le triangles rectauglesque l’on voudra par les formules suivantes.a étant arbitraire, prenez
la -|- 1 et la ( a -f t )pour les deui petits nombres,
et la -| la |- I
pour le grand. Car
4 a 2 la + l) 2 + 12 a + l) 2 = (2 a 2 +2 a , lrOu encore, a et b étant arbitraires, les deuxpetits nombres seront lab et a 2 ~b^, et le2 2
grand sera a -{- b . Car
|n 2 -/. 2 ' 2 + 4 « 2 i 2 =l a 2 + O 1 I 2La formule dont les Pythagoriciens se ser-vaient peut s’écrire ainsi :
Platon déterminait les triangles rectangle*en nombres à l’aide d’une méthode qui peu*être exprimée par l’équation
)
,2