ALGÈBKK.
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on peut encore employer la formuleI Wr 2 -{ 8 a+3| 2 + |4«+'n 2 =(.W/ 2 -i Sa +5| 2le plus grand cOté 4 a 2 + 8 « + 3 et Yhypo-thcnuse 4 a 2 -\- 8 a -f- 5 ne diffèrent que dedeux unités.
I-AITS CURIEUX RELATIFS AUX PUISSANCES RTS
nombres. — Fermât a démontré que Faire d'untriangle rectangle en nombres entiers ne sau-rait être égale a un carre.
on lui doit aussi celte proposition impor-tante qu’il est impossible de diviser aucunepuissance au-dessus du carré en deux partiesqui soient des puissances de même espèce. I.asomme de deux cubes ne peut donc être uncube exact; ni la somme de deux quatrièmespuissances une quatrième puissance, etc.
Ce théorème de Fermât est le seul qui nesoit pas aujourd'hui complètement démontré.Euler et Legendre ont trouvé les démonstra-tions pour les puissances 3 et 5; celle qui estrelative à la puissance 4 n'est pas difficile. M.I.ejeune-Diriciilet en avait donné une particu-lière pour ia puissance 14; M. Lamé est par-venu à prouver la proposition pour la puis-sance 7. D’ailleurs, une fois établie pour unecertaine puissance, la proposition Fest aussipour toutes les puissances multiples : elle l'estdonc aujourd'hui pour toutes les puissances 3,(I, 0, 12, 43; 4, 8, 12, 16; 5, 10, 15, 20, 25 ; 7, 121, 28, etc.
I.a somme de deux bi-earrés ne peut être uncarre.
La somme d'un bi-carré et du double d'unautre bi-carré ne peut non plus être un carre.
I.«l somme ou la différence de deux cubes nepeut être double d'un cube.
Aucun nombre triangulaire, excepté 1, n’estégal à un cube ni à un bi-carré.
Un uombre quelconque peut être formé parl'addition de trois nombres triangulaires ; ilpeut être formé également par Faddition dequatre carrés, par celle de cinq nombres pen-tagones, par celle de six hexagones, et ainsi desuite à l’inüni.
Four comploter le sens de cet énoncé, il fautdire que o peut entrer une ou plusieurs foisdans la composition des nombresquel'on con-sidère; car 0 fait partie de toutes les suitesdes nombres polygones.
Cette belle proposition est encore due à l’il-lustre Fermai.
Des carrés maoiquks. — Emmanuel Mosco-pule, Grec du Uns-Empire, qui vivait au qua-torzième ou au quinzième siècle, est le pre-mier auteur dom ou possède un écrit sur cesujet.
On appelle carré magique un carré divisé encellules égales dans lesquelles on inscrit lestermes d'une progression arithmétique de tellesorte que la somme de chaque bande soit ver-ticale, soit horizontale, et de chacune des dia-gonales soit toujours la même.
Il est probable que cette invention tire sonorigine de la superstition. Agrippa en fait men-tion au sujet des talismans. M. de la Loubèreen a' trouvé la connaissance répandue dansl’Inde, et surtout a Surate , ce qui rend assezprobable qu elle nous vient de ce pavs aussibien que notre système de numération.
Il y a deux sortes de carrés magiques dontle degré de difficulté est bien différent. Lesuns sont les carres impairs, dont la racine estimpaire, comme 5), 25. 49, etc. : ce sont les plusfaciles à ranger. Parmi les carrés pairs, on dis-tingue les puirement et impairement pairs,suivant que leur rucineest divisible par 4, ouseulement par 2. La méthode qui sert aux unsest différente de celle qu'exigent les antres.
Nous donnerons pour seul exemple la règletrouvée pour les carrés magiques impairs parPoignand,chanoine de Hruxelles, et perfection-née par l'académicien de la Dire.
Soit,par exemple, un carré de racincimpairccomme 5 ; ayant construit ce carré, vous pla-cerez dans le premier rang horizontal d'enhaut les cinq premiers nombres de la progres-sion dans l'ordre que vous voudrez : prenons4. 3, 5, 2, 4; choisissez ensuite un nombre pre-mier avec cette racine 5, et qui, diminue del'unité, ne la mesure point non plus : nous sup-poserons 3; c'est pourquoi vous prendrez le troi-sième chiffre de cette suite, d'où vous comp-terez pour remplir la seconde bande horizon-tale 5, 2, 4,1, 3: puis vous recommencerezencore par le troisième, après et y compris 5,c'esi-a-dirc par 4, ce qui donnera, pour lutroisième bande, 4, t, 3, 5, 2. Vous aurez, eusuivant le même procède, la suite des nombres3, 5, 2, 4,1, dont vous remplirez la quatrièmebande; et ainsi en continuant et reprenanttoujours du troisième chiffre, y compris leprécédent, jusqu à ce que tout le carré soitrempli comme l'on voit ici.
Ce carre sera un des composants du cariécherché et sera magique, car la somme dechaque bande, soit horizontale, soit \erii-oale, soit diagonale, est la même , puisque lescinq nombres de In progression sont dans cha-cune sans répétition.
t
3
5
2
-,
—
—
—
—
—
5
2
3
—
—
—
—
—
4
3
5
2
—
—
—
—
—
3
5
2
4
1
>
1
3
Faites présentement un deuxieme carrégéométrique de 25 cases, dans la premièrebande duquel vous inscrirez les multiples dela racine 5, en commençant par zéro, savoir0,5 10,15,20, et dans l'ordre qu'il vous plaira,par exemple celui-ci 5, 0, 45 , 40, 20; vous li-nirez de remplir le carré suivant le mêmeprincipe que ci-dcssus, en ayant néanmoinsattention de ne pas prendre lu même quan-tième pour recommencer continuellement.
5
0
15
10
20
10
20
5
0
15
0
<5
to
20
5
20
5
0
15
10
1 *
Kl
20
5
0
On a pris, par exemple, pour le premiercarré, le troisième chiftre; il faudra prendreici lu quatrième, et l'on aura le carré des mul-tiples formé comme on le voit ici. C'est lu