9,i CARRES MAGIQUES. ANALYSE INDÉTERMINÉE. 0*
second composant du carré magique cherché,et il est lui-mème magique, puisque la sommede chaque bande et de chaque diagonale estla même.
Maintenant, pour avoir te carré magiquecherché, il n’y a qu'à inscrire dans un troi-sième carré de 25 cellules, la somme desnombres qui se trouvent dans les cellules cor-respondantes des deux précédents, par exem-ple 5 + t ou C dans la première à gauche eten haut du carré cherché; 0-f-3ou3dunsla deuxième, etc. : vous aurez, par ce procédé,le carré de 25 cases ci-joint, qui sera nécessai-rement magique.
0
3
20
12
15
9
1
18
4
Ui
13
25
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; 2.‘t
10
2
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21
8
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On peut, par ce moyen, faire tomber Icinombre qu’on voudra dans telle case qu'onvoudra, par exemple i, dans la cnse central'- :il n'y a qu'à remplir la bande du milieu par lasuite des uombres, en sorte que 1 soit au mi-lieu, comme on le voit ici, et on continuerade remplir le carré suivant le principe ci-dessus, eu recommençant par la bande la plushaute quand on aura rempli la plus basse.
it
1
3
3 !
3
>
5
2
1
5
2
3
■t
1
3
5
2
/,
*
2
3
Pour former le second carré, on placera zéroau centre, comme on voit ci à côté, ei unle remplira de la même manière et auxl'attention de ne pas preudre, pour recommen-rvr les bandes, le uiôme quanlicme que pourle premier.
20
5
10
0
15
0
15
20
5
10
5
10
0
15
20
15
20
10
0
LL
0
15
20
*
Enfin l'on additionnera, dans un troisièmecarré, les case9 semblables, et Tou aura lecarré ci-joint, où * occupera nécessairementle centre.
§ 7. Analysa indéterminée du premierdegré.
Lorsqu'un problème conduil à moins d'équations que d’inconnues, il admet une infinité desolutions algébriques; néanmoins la naturede la question peut exiger que les valeurs desinconnues soient des nombres entiers et posi-tifs.L'analyse indéterminée a pour but de trou-ver les solutions qui satisfont a celte condi-tion.
Psotis ne considérons ici que le cas le plusordinaire de l'analyse indéterminée du pre-mier degré.
Une équation du premier degré à deux in-connues peut toujours être ramenée à laforme
u.r + b y = c
a> b , c étant des nombres entiers positifs ounégatifs qui n’ont pas de diviseur commun.
Pour que cette équation puisse admettre dessolutions entières, il faut que a et b soient pre-miers entre eux.
b
Supposons que l'on réduise en fraction
p
continue, et représentons par - l’avant-der7
nière réduite.
D'après les propriétés connues des fractionscontinues, on aura
ap — bq =r + l
selon que la réduite—est de rang pair ou7
impair.
De là on tire
apc — bqc = + c
Onsutistera donc à l'équation donnée dans leprunier cas en posant
x = pc. y — — qcet dans le second cas, en posant
Or, quand on connut! une solution entièreI x = x\ y — y' ), de l’équationax + by = c
on peut en déduire toutes les autres aumoyen des formules
x — xf + bty = y t + at
dans lesquelles t est un nombre entier quel-conque.
Parmi les systèmes de valeurs animées par