95
ces formules, ou pourra choisir celles qui sontpositives.
$ 8. Puissances et racines des quantitésalgébriques et numériques
l’our obtenir la racine rn vme d'un monome,il faul extraire la racine wt^ me du coefUcientnumérique et diviser l'exposant de chaque let-tre par m.
Ainsi V ola 1 * 6 = 1 utr.
Cette règle, appliquée dans sa plus grandegénéralité, conduit à (a notation des exposantsfractionnaires positifs et même négatifs, ima-gines par Descaries, et l’une des plus expres-sives de l'algèbre.
5
/ x « a .» i
Ainsi 4 / 32a 4 o c = 2a 5 b i> c ».
Généralement
n n
Les règles des opérations à effectuer sur lesexposants fractionnaires positifs et négatifssont les mêmes que pour les exposants en-tiers.
Le produit, le quotient, l’élévation aux puis-sances et l'extraction des racines des radi-caux d’un degré quelconque ne sauraient doueoffrir aucune difficulté.
L’extraction des racines des polynômes estfondée sur la formule du binôme de New-ton.
l’our extraire la racined’un polynômeP, ordounez-le par rapport aux puissancesdécroissantes ou croissantes d’une lettre. Pre-nez la racine w eme du premier terme, vousaurez le premier terme de la racine. Divisez ledeuxième terme de P par m fois la (/w-i)® IUUpuissance du premier terme de la racine, vousaurez le deuxième terme de celle racine. Re-tranchez de P la /« eu,e puissance de la sommedes deux termes trouves, et divisez le premierterme du reste R par m fois la ( m ème - \ ipuissance du premier terme de la racine, vousaurez le troisième terme ; et ainsi de suite.
Lorsque le polynôme proposé est une puis-sance /« t,ne exacte, ces opérations conduisenta un reste nul.
L’extraction des racines des nombres estd'ailleurs fondée aussi sur la composition desdeux premiers termes x m -\-mx ,n ~ i a de lum U e puissance du binôme, et se réduit à desprocèdes analogues à ceux qui ont été dévelop-pes dans I’ariïumktique (c. 3a et 3 4 ), pour lesracines carrées ei cubiques.
La formule du binôme de Newton est vraiepour des exposants fractionnaires positifs ounégatifs , aussi bien que pour un exposant en-tier et positif, et elle peut être employée avecun grand avantage à lu déterinm|liou des ra-cines des nombres.
Veut-on, par exemple, avoir la fteine carréede iOl. On prend le carré 100 le p us approchéuossiNe de 101 et on pose mi xnon-i- i. d’où
y/ toi = v'ioo + 1 = (100 + 1| 2 .
Or, si dans la formule du binôme, on fait
\x +
4 4- /" a a 2 a s
a r = ( I + —-H -
\ t2x 8x 2 tOa; 6
5 a 4 35a 5 , \
igfcr 4 tmr 3 J
la l’on a x — toO, d'où x 2 = 10, et £=0,01.donc
/ - / 0,01 (0,011 2 <0,01 ) S
V 101 = ion -h—-——-+1-L—L
\ 2 8 10
5 0,01 4 , 4 \
-+ etc. )
128 /
Si on veut avoir celle racine à 0,0001 près,il suflit de prendre les trois premiers termesdu développement; car le quatrième terme0 000001
——— multiplié par le coefficient 10 ne pro-duit que 0,000o00625,et les suivants sont encoremoindres.
Eu effectuant les calculs, on trouve
</ (Of = I0,0'i99.
$ 9 Du /dus grand commun diviseur algé-brique.
l’our obtenir le plus grand commun diviseurde plusieurs monomes, on cherche le plusgrand commun diviseur des coefficients numé-riques, et on écrit à la suite de ce nombrechaque lettre commune à tous les monomes,en lui donnant le plus petit exposant dont elleest affectée dans ces monomes.
Ainsi le plus grand commun diviseur des
quantités 432a 4 6 2 :r 2 , 270a 2 6 3 x 2 , 90a 3 bx*est 18 a 2 /;# 2 .
Pour trouver le plus grand commun divi-seur de deux polynômes et qui ne renfermentqu’une seule lettre x, on commence par cher-cher le plus grand diviseur monome communà tous leurs termes, et on supprime ce focicurdans les deux polynômes.
.‘-oient A et B lés deux polynômes ainsi sim-plifiés; on suppose que le negre de B ne sur-passe pas celui de a et qu’ils sont tous deux or-donnes par rapport aux puissances décroissan-tes de x.
On divise successivement A par B, B par lepremier reste, celui-ci par le secoud et ainside suite.
Pour rendre entiers les coefficients numéri-ques des divers termes des quotients succes-sifs, on multiplie chaque dividende partielpar un nombre tel que le coefficient du pre-mier ternie de ce dividende contienne exac-tement le premier terme du diviseur corres-pondant.
On supprime dans les restes successifs lesfacteurs monomes, s’il s’en trouve.
En continuant ainsi ou parvient toujoursè un reste indépendant de x. Si ce reste estnul, le dernier diwseur employé est le plusgrand commun diviseur demandé. Si le resten’esi pas nul, les polynômes A et B n’ont pasde facteur commun.
• Eu appliquant cette règle aux pohnom;. -