!»7 . KLl.MLNA'l ION.

5 3

3a.’ — 10a.' t 15# 4* *>> <it

5 4 3 2

x — 2x — C)X + %x H- 1 3 a: + o,

3 2

ou trouvera x 4* 3a: 4" 3x 4- * pour plusgrand commun diviseur.

Soient maintenant deux polynômes M et N,qui contiennent deux lettres x et y, et quin’ont plus de facteurs monômes.

On les ordonne d'abord par rapport aux puis-sances décroissantes d'une des deux lettres, dex par eiemple : les coeflicients de x peuventêtre des polynômes. Mais ils ne contiennentqu'une seule lettre y.

Soit a le plus grand commun diviseur descoeflicients des diverses puissances de x dansM, b celui des coeflicients des puissances dex dans t>, et d le plus grand commun diviseurde a et de b. a , b, (t> sont faciles à trouverd’après les règles précédentes. En divisant Mpar a, iS par b on obtiendra les quotientsentiers A et B et on aura

M z=a X A, N —b X B.

Il suffira de déterminer le plus grand com-mun diviseur D des polynômes A et B quin’ont plus de facteurs indépendants île x. Onobtiendra le plus grand commun diviseurdes polynômes M et .N en multipliant t) par d.

Ou appliquera aux polynômes A et U ce quia été dit relativement à deux polynômes quine contiennent qu'une seule lettre» en ayantsoin de remarquer qu'au lieu de coeflicientset de fadeurs numériques, on peut introduireet supprimer des fadeurs algébriques quipeuvent être îles polynômes en y.

On s'élèvera de la même maniéré au cas oùles polynômes reufcimeiiL 3, 4, 5, (1 lettres etainsi de suite.

5 10. Propriétés principales des Jonctionsdérivées

Lorsque, dans le polyuonie,

x m +ax m ~' ... , . xx K

uue l’on peut désigner, pour abréger, par/ |irl | fonction de xi, ou remplace x par x-\- h et que l'on ordonne le résultat, déve-loppé suivant la formule du binôme, par rap-port aux puissances croissantes de h, on ob-tient

r\x + u) =/ u-,-’ r /</*«. +4: r to

h s

J la’) 4" ....

h

m

J'\x) est le polvnotne donné.

•/’ {a:},/” \x),f"' Un sont \es fonctions dé-rivées successives ou simplement les déri-vées successives de ce polynôme.

Leurs valeurs sont :

ni — t m — 2

/ {.r) = /«.r a [m — t) x .

+ :Irx + s

m — 2

J" Un — m ( m — t) xni — 3 ,

a [m — 1) (m—2) x -r. • 2 r.

/'”’ [x] = m (m — t) I ni — 2) x >H °4’ etc.

/ m \x) = ni {m — t) {ni — 2)... 3.2.1.

Chacune d'elles dérive donc de la précè-dent an moyen d’une loi constante.

DÉRIVhKS. yy

La dérivée du premier ordre /' lx) d’unefonction entière d'une variable exprime la li-mile du rapport de l'accroissement de la fonc-tion è l’accroissement de la variable.

Si on fait croître x par degrés insensiblesentre deux limites a et b, la fonction/' ta:)ira en croissant tant que la dérivée/ 1 ' ta:) con-servera une valeur positive ; et quand la déri-vée sera négative, la fonction ira en décroissant.

On en conclut que la dérivée /’ (a:) est nullepour toute la valeur a de a: qui correspond àun maximum ou à un minimum de / (a).Dans le cas du maximum le résultat de la sub-stitution de # à lu place de x dans/” la:) estnégatif; ce résultat est positif dans le cas duminimum.

En général, si la première des dérivées suc-cessives qui n’est pas réduile è zéro par lasubstitution de x à la place de a est de rangpair, f\x\ est un maximum ou un minimumpour cette même valeur x — a, suivant quecetie dérivée est négative ou positive. — Si lapremière dérivée non annulée par l'hypothèsex — a, était de rang impair, il n’y aurait nimaximum ni minimum

§ tl. Élimination. Equation aux difjé,rences.

Éliminer des inconnues , c'est déduire d'unsystème d'équations qui renferment cesinconnues avec plusieurs autres, un autresystème d'équations qui ne les contiennentplus. (Col. 73).

Lot>qu il y autant d'équations que d'incon-nues, reliminaiion de toutes les inconnuesmoins une conduit généralement à une équa-tion Jinale à une seule inconnue, équationdout le degré est tout au plus égal au produitdes degrés «les équations composantes.

Considérons seulement le cas du deux équa-lious à deux inconnues.

Si l'une des équations ne contient une desinconnues x. Qu'au premier ou au second de-gré, ou résoudra celte équatiou par rapport ax, en y considérant y comme uue quantitéconnue, et on substituera lu valeur de a: enfonction de y dans l'autre équation. On par-viendra uiiisi à une équation qui ne contiendrapius que y. La résolution de cette dernièreéquation fera connaître les valeurs de y , et onobtiendra les valeurs correspondantes de x,un substituant successivement chaque va-leur de y dans celle de or qui est exprimée eufonction de y.

Généralement, si l’on a deux équations nu-mériques de degrés quelconques entre deuxinconnues, pour obleuir les valeurs de y quiconviennent aux équations proposées, on cher-che le plus grand commun diviseur entre cesdeux équations; on égale séparément à zérole reste indépendant de x , auquel on parvient,ainsi que chacun dés facteurs en y que l'on usupprimes dans le cours du calcul, et l'on ré-sout séparément chacune de ces équations.

Parmi les valeurs que l’on obtiendra ainsi,il pourra se trouver des valeurséirangeres quidevront être rejetees. Mais les details relatifsa la séparation de ces deux espèces de valeursnous entraîneraient trop loin.

Les piocedés de I élimination sont employésutilement pour le calcul d'une équation dômtoutes lus racines sont la différence entre cha-iuue des racines d’une équation proposée ettoutes les autres.

Cette équation, qui porte le nom d'équationaux différences , s'obtient en éliminant %enlre les deux équations.

5