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/ \x) — « fl2

r i*i + f" w + w+» « c -

=: o.

Si l'équation proposée est du degré ni, l'é-quation aui différences est du degré m Dre — f|;elle ne contient que des puissances paires de2

i/, et si on y remplace y par z elle prend lenom d 'équation aux carrés des diffé-rences.

l’our obtenir une quantité moindre que laptus petite différence entre les racines d’uneéquation donnée, il suffit de chercher la ra-cine cariée de la limite inferieure des racinespositives de l’equatiou aux carrés des diffé-rences.

Lorsque l’équation aux carrés des différen-ces n'a que des variations de signes, l'équa-tion proposée o toutes ses racines réelles; lors-que la première a des permanences, la secondea des racines imaginaires ; et le nombre descouples de racines imaginaires de la proposéene peut surpasser le nombre des permanencesdans l'équation aux carres des différences.

9 12. Propriétés générales des équationsde tous les degrés.

Il acines des équations. — Toute équation dudegré tnh une seule inconnue peut être rame-née à lu forme.

(I) x m + ax m ~ 1 + hx m ~- -\-. ..+ r or-|- sx + t = o.

a y r , s , t étant des nombres entiers

ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

Si eu substituant l'une après l’autre, dansle premier membre de cette équation, deuxvaleurs réelles et linics pour x, .r= A et x =Bon obtient deux résultats de signes contrai-res, l'équation aura au moins une racine réellecomprise entre A et 11.

Toute équation de degré impair admet aumoins une racine réeile de signe contraire ausigne de son dernier terme; et toute équationdo degré pair dont le dernier terme est néga-tif, admet au moins deux racines réelles, l'unepositive, l'autre négative.

l.orsque les termes de l'équation H| ont tousle même signe, celte équation n'a pas de ra-cine positive.

Lorsqu'une équation est complète, et que sestermes sont alternativement positifs et négatifs,elle n'a pas de racine négative.

ouund une équation ue contient que despuissances paires de l'inconnue , toutes les ra-cines ont deux fi deux la même valeur numé-rique avec des signes contraires, et récipro-quement.

Décomposition des équations en facteurs. —Si A est une racine de l'équation , le premiermembre de celte équation est divisible par lebinôme# — A, et réciproquement.

Plus généralement, le reste de Indivision dupolynôme qui forme le premier nombre de l'c-quation, pur le binôme x — A, est égal à lavaleur que prend ce polynôme quand on yremplace x par A.

Toute équation du degré m admet m raci-nes récités ou imaginaires, et ne peut eu ad-mettre davantage ; ou , eu d'autres termes, lepremier membre de l'équation ci-dessus estdéeomposable d'une seule manière en m fac-teurs binômes du premier degré, tels quex — A, x — 11, ele.

7'nule équation do degré pair, dans laquelle

les coefficients sont des quantités réelles, peuttoujours être décomposée en m facteurs réels. , , ni ( m — \ )

du second degré; el cela de --— ma-

nières différentes.

Le nombre des diviseurs du troisième degré

m i ni — 1} {m — g iest-

1.2. ;i

Le nombre des diviseurs du degré >: est

m I m — 11 ( m — 2| . . I m — n 4- I )

1. 2. 3. u

et le nombre total de tous les diviseurs serao m _ \

Dans toute équation ramenée à la forme (f),le eoeflicient du second ternie , pris en signecontraire, est égal à la somme des racines.

Le eoeflicient du troisième terme est lasomme des produits deux à deux des racines.

Le coefficient du quatrième terme, pris avecun signe contraire . est égal ù la somme desproduits trois à trois des racines; et ainsi desuite.

Enfin, le dernier terme, pris avec son signe «mavec un signe contraire, suivant que le degréde l'équatiou est pair ou impair, est égal ouproduit de toules les racines.

Transformation des racines des équations.— On peut, sans connaître les racines d'uneéquation, leur faire subir diverses transforma-tions qui rendent souvent leur délenniiiatiouplus facile.

Pour augmenter d'une même quantité htoutes les racines de l'équation lli on rempla-cera x par y — h , et toutes les racines «le latransformée en y excéderont de h les racinesde la proposée.

Celle transformation sert à faire disparaîtrele second terme d'une équation. H suffit poura

cela de remplacer# par //-

m

Tour transformer l'équation U) en une autredont toules les racines soient égales à celles dela proposée prises avec des signes contraires,remplacez x par — y.

La transformation par multiplication desracines s'opère en posant x = -jj -.

La transformée, en multipliant tout par h msera

y m + uhx m -' + bh i x m ~ 2 + . ..

+ sh m ~ 1 x + lh m = o

En prenant pour h le plus petit nombre pos-sible qui rende entiers tous lescoefliciens de latransformée , celle-ci jouira de la propriété den'avoir plus qtie^des nombres cutiers pour ra-cines coinmensurables.

Kèole des signes üe Descartes . — On ditqu'il y a une permanence lorsque deux ter-mes voisins dans une équation ont le mêmesigne ; daus le cas contraire , il y a une va-riation.

Dans toute équnliun le nombre des racinespositives ne peut surpasser le nombre des va-riations de signes ; et le nombre des racinesnégatives ne peut surpasser le nombre des va-riations de la transformée que l'on obtient euchangeant x en -- x.

Dans une équation complète , le nombre desracines négatives est tout au plus égal au nom-bre des permanences.

Dans une équation complète qui a toutes sesracines réelles, le nombre des racines positive*