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RÉSOLUTION DES EQUATIONS N UMEhlQUES.

est égal nu nombre des vnrintions, et le nom-bre des racines négatives est égal au nombredes permanences.

Toutes les fois qu’il manque nn terme entredeux termes de même signe, l'équation a aumoins deux racines imaginaires.

Limites des racines. — K étant le plus grandcoefficient de l’équation (U, K + i et — (K 4 11sont respectivement les limites supérieuresdes racines positives et négatives de cette équa-tion.

Mais on peut souvent avoir des limites plusrapprochées. .N étant la valeur absolue du plusgrand des coeflicienls négatifs , N 4- i seraune limite supérieure des racines positives.

Lorsque le premier terme négatif—1( x ,n ~ nest séparé du premier terme x m de Tequa-

n

tion par n — t termes positifs, 1 + V \sera une limite encore plus rapprochée «lesracines positives; .N désigne toujours le plusgrand des coefficients négatifsLa limite supérieure des valeurs absoluesdes racines négatives s'obtient en changeant xen —x dans l'équation proposée.et en prenant,dans la transformée, la limite supérieure desracines positives.

Tour limite inférieure des racines positives,on prend la valeur absolue du plus grandcoerticient de signe contraire au dernier terme,et ou la divise par la somme de ce coefficientet du dernier terme.

La limite inferieure des racines négativesn'est autre que la limite inférieure des raci-nes positives de la transformée que l'on ob-tient eu remplaçant a? par — x dans la pro-posée.

Lorsque deux nombres suhstiluésdans le pre-mier membre «l’une équation donnent des ré-sultats «le signes contraires, ils comprennentun nombre impair de racines icelles de celteéquation ; et lorsque deux nombres donnentdeux résultats de meme signe, ils ne compren-nent aucune racine ou ils en comprennent unnombre pair.

Théorème df. Stcrm. Soit S — o une équa-tion d’un degré quelconque dont toutes les ra-cines sont inégales, et soit V’ la fonction déri-vée «le V ; qu’on opère comme s’il s’agissaitde trouver le plus grand commun diviseur en-tre V et V’, avec celtcseule différence que Tonchangera les signes de tous les restes à me-sure qu'ils son iront de diviseurs; soient V",

V". ces restes consécutifs dont les signes

ont été changés, et qui sont poussés jusqu’à unU1 • .

reste numérique V, on aura la propositionsuivante :

Lorsque l’on substitue à la place de x , dans

la suite des fonctions V, V\ V”, V”\..V ' deuxnombres quelconques a et b positifs ou néga-tifs, si a est plus petit que b le nombre de ra-cines réelles de l'équation V = o comprisesentre a et b est égal à l'excès du* nombredes variations contenues dans la suite des

f/'|

signes des fonctions V, V’, V’, V'”.V

pour x = a sur le nombre des variations deleurs signes pourx = b.

% i:i. Hésolution des équations numéri-(fîtes d'un degré quelconque à une seuleinconnue.

i\ EOIIERCIIES DES RACINES COMMRNSCK ARLESégales od inégales. Commence* par ramenerl'équation à la forme (II.

m , m-t >n — 2.x -j- ax + bx -f-... -f- sx -I -1— o

en multipliant les racines par une quantité htelle que tous les coeflicienls deviennent desnombres entiers, a , b , c, etc. Les racinescommensurables ne pourront être que desnombres entiers.

Prenez les limites supérieures des racinespositives et négatives de l'équation.

Ecrivez sur une même ligne horizontaletous les diviseurs du dernier terme, comprisentre ces limites, par ordre de grandeur, ettant avec le signe + «ju'avec le signe —.

Ecrivez au-dessous les quotients du der-nier terme par chacun de ces diviseurs, en yajoutant avec son signe le coefficient du termeen x, et en négligeant tous les quotientsqui ne sont pas des nombres entiers.

I.a troisième ligne est formée des quotientsdes nombres de la ligne précédente par les di-viseurs correspondants, quotients auxquels «m2

ajoute le coefficient du terme en x en négli-geant toujours ceux qui ne sont pas entiers.

Continuez «le la même manière jusqu'à ceque vous ayez épuisé tous les termes de l'é-quation, jusques et y compris le second.

Ceuxde&diviseurs qui auront fourni des quo-tients égaux à — \ b la dernière ligne d'opéra-tion, seront les racines réelles commensura-bles, et seront les seules.

On ne soumet pas ordinairement b ces opé-rations les diviseurs -f- i et — f parce qu’il estplus simple de chercher directement s’ils vé-rifient l'équation proposée.

On limite aussi les opérations en ne cher-chant les racines entières que parmi les divi-seurs du dernier ternie, qui, augmentés de t,divisent le résultat «le la substitution de — 1 ala place de x dans le premier membre de l'é-quation proposée, et qui, diminués de t, di-visent le résultat de la substitution de + t à laplace de x.

Lorsque Ton a trouvé diverses racines com-mensurables x\ x", x'"... on divise le pre-mier membre «le l’équation par le produit «lesfacteurs x — x\ x — x ”, x — x'"... qui cor-respondent à ces racines. Le quotient égale àzéro détermine toutes les autres racines.

Or, si la proposée a des racines commensu-rables égales, la nouvelle équation admettraencore «les racines commensurables. Pour lesdéterminer, ii suffira d’essayer la substitutiondirecte de#\ x", x"'.. On peut encore substi-tuer chacune des racines dans les dérivées suc-cessives du premier membre de Té«iuaüonproposée; le degré de multiplicité de la ra-cine est marqué par le rang de la première dé-rivée qui ne devient pas nulle pour cette sub-stitution.

HIXUERCtlES DES RACINES IJtCOMMENSllRUtLKSégales. Lorsque le premier membre de J’e-qualion a été divisé par le produit des facteursbinômes qui correspondent aux racines égalesou inégales, le quotient égalé a zéro donneune nouvelle équation f (x i = o, dont toutesles racines réelles sont incommensurables.

Meis cette équation peut avoir des racinesincommensurables égales.

Pour les trouver, on cherche successivementles plus grands communs diviseurs D, entref [x\ et sa dérivée/ 1 Uc), D’ entre Del sa dé-rivée, D" entre D’ et sa dérivée.

En continuant ces calculs, on parvient tou-jours il un polynôme qui est premier avec sadérivée. Supposons que D" soit ce polynôme.

On divisera chacune des fonctions f\x\, D,