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p\... par la suivante, ce qui donnera lesquo-tients successifs Q, Q’, Q”...

On divisera de même chacun de ces quo-tients successifs par le suivant, et le dernierQ" par D", ce qui donnera de nouvelles fonc-tions de x

<7. <7".

On posera alors les équations

q — O, q'zxo , q" = o, D '' — o

chacune d’elles n'aura que des racines iné-gales.

La première donnera toutes les racines sim-ples ae la proposée/ (x) la seconde don-nera toutes les racines doubles; la troisièmeles racines triples, et ainsi de suite.

Une équation du troisième degré, dont lescoefficients sont commensurablcs et qui u'apas de racines commensurables, a toutes sesracines inégales.

Une équation du quatrième degré, dont lescoeflicieuts sont commensurables, ne peutavoir de racines incommensurables égalesqu'autant qu'elle a deux racines doubles; dansce cas, on peut ramener l'équation proposée àune équation du second degré, en extrayant laracine carrée du premier membre.

RECHERCHE DES RACINES INCOMMENSURABLES

infc.at.es par i.a méthode de M. Stcrm.— SoitV = o l’équation proposée qui ne contientplus que des racines incommensurables iné-gales. Soit V', la fonction dérivée de V, et soient— Y", — V'"...— v^, les rosies consécutifs quel’on obtient en cherchant le plus grand com-mun diviseur entre V et V', entre V' et V'', etainsi de suite, V (/ * étant un nombre. Désignonspar (x) l’ensemble de toutes les fonctions V, V',Y"...V^, et par(fl) l’ensemble des résultaisquel’on obtient en substituant a à la place de x.

On donnera successivement à x les valeurs0, 10, 100, 1000, et on notera les excès desnombres de variations de signes contenuesdans chacune des suites ( 10 ), 1 100), HOOOi, surles nombres des variations de signes de lasuite précédente : ces excès seront re»pective-ment égaux aux uombres de racines positivescomprises entre 0 et 1 , entre 10 et 100, entre100 et 1000, etc.

S’il y a des racines entre 1 et 10, on déter-minera la partie entière de chacune en sub-stituant les nombres 1, 2, 3, jusqu'à 10; s'il y ades racines entre 10 et 100, le chiffre des dixai-nes de chacune se connaîtra par la substitutiondes nombres 10, 20, 30, Jusqu'à 100, et ainsi desuite. Semblablement encore pour les racinesmoindres que 1 , on connaîtra le chiffre déci-mal de l’ordre le plus rapproché de la virgule,en substituant les uombres de 0,1 à 1, ou biende 0,01 à 0,1, etc.

F.n procédant de cette manière, on obtient lechiffre de l'ordre le p us élevé contenu danschaque racine. Pour obtenir celui de l’ordreimmédiatement inférieur, par exemple le chif-fre des disantes lorsqu'on a trouvé des racinescomprises entre 300 et 400, on change x en300 4 * x / , ce qui fournit une nouvelle série (x'Idans laquelle il n’y a plus qu'à substituer lesnombres 0, 10, 20 , pour reconnaître ceux quicomprennent des racines. Si on a trouvé 5 pourle chiffre des dixames, on remplacera ar par50 -j- x" dans la série [x'), et ou aura une sé-rie (x"l, où il n’y aura plus qu’à substituer les

nombres 0, 1, 2, 3.pour savoir quel est le

chiffre des unités.

On peut continuer ces calculs pour connaî-tre successivement les dixièmes, les centièmes,etc., et on arrive, par cette voie, à calculer les

racines avec autant d’approximation que l'onveut.

Le principe de M. Sturm peut servir aussi àobtenir les racines sous forme de fraction con-tinue. Après avoir reconnu qu’il y a des ra-cines entre deux nombres positifs entiers con-sécutifs a et a -J- 1 > on fera x = a 4- jp dansla suite (x), ce qui donnera une nouvelle suite|x'|, au moyen de laquelle on trouvera les par-ties entières des valeurs de x' qui sont plusgrandes que l'unilé. Soit b l'une de ces parties

entières, on posera x' =: b dans la suite

(x'j, ce qui donnera une nouvelle suite (x"i,qui servira à calculer les parties entières desvaleurs de x". On continuera de cette manièreaussi loin qu'on le jugera convenable. Pour lafacilité du calcul, on pourra, dans chaquefonction des suites (x'I, \x"),... réduire tous lestermes au même dénominateur et ne plus te-nir aucun compte de ce dénominateur, pourvuqu'il soit positif.

Mous n'avons pas parlé des racines négativesparce qu’on les obtient en changeant x en —x.

Métuodf. de Newton.— Lorsque l’on a obtenuune première valeur approchée d’une racined’une équation, la méthode de Newton con-duit souvent très-rapidement à une approxi-mation considérable.

Si l'on a, par exemple, la première valeur ap-prochée a pour l’equation/ (x) = 0, à 0,1 près,on calcule — à 0,01 près, et on ajoute cette

valeur à celle de a ce qui donne une secondeapproximation a'.

On calcule —yrjp^ à 0,0001 près, et on ajoutele résultat à a', cc qui donne une seconde ap-proximation a", et ainsi de suite.

Mais la méthode de Mewton n’est pas infail-lible, car les résultats qu’elle donne, au lieud’êlre toujours plus approchés de la valeurréelle de la racine, vont quelquefois en s’enéloignant.

Méthode de Lagrange. — Cherchez la limiteinférieure / des racines positives de l'équationaux carrés des différences des racines de la pro-posée. Prenez un nombre rationnel d, le plus

rapproché possible et inférieur à Vi : si <1 est

moindre que l'unité, faites dans l’équationproposée x = dx' s et substituez dans la trans-formée les nombres0, 1, 2, 3, 4. Les résultatsde la substitution de deux nombres entiersconsécutifs a et a 4 -1 qui seront de signescontraires, correspondront à une seule valeurde x', comprise entre ces nombres entiers.

Posezx=#-f-—, vous aurez une transfor-y

mée en y , qui u'aura qu’une seule racine*réelle plus grande que l’unité. Substituez 2, 3,4.... à la place de y, |usqu à ce que vous parve-niez à uu nombre qui donne un résultat posi-tif, et te nombre entier immédiatement infé-rieur sera la partie eutiere de y.

Connaissant cette partie entière b, on pose

y = b-\- ce qui donne une seconde trans-formée en z , sur laquelle on opère comme surla précédente.

En continuant ainsi, on obtient x sous Informe d'une fraction continue

a -r !

*4- l

r + etc.