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que i on peut pousser aussi loin et qui donneautant d'approximation que l'on veut.

$ lï. Résolution des équations algébriquesde degré supérieur au second.

Les géomètres sont parvenus à trouver desformules qui expriment par un nombre li-mité d'opérations les valeurs algébriques desracines des équations du troisième et du qua-trième degré à une seule inconnue; mais , àpartir du troisième degré, ces expressions nepeuvent plus être considérées que comme dessymboles curieux, qui ne sont d'aucune utilitépour la détermination des valeurs réelles desinconnues. Tous les efforts des géomètres lesplus bubiles sont venus échouer contre leséquations algébriques de degré supérieur auquatrième. Il est même prouvé aujourd’huiqu'il est impossible d'exprimer algébrique-ment les racines de ces équations par unnombre limité d'opérations effectuées sur lescoefhcients. On ne considère pas comme unesolution du problème les belles séries que La-grange a données pour les valeurs des racines,parce que t es séries sont généralement diver-gentes , et contiennent un nombre infini determes.

Abaissement des équations. — Il y a néan-moins certaines classes d'équations itlgébri-

3 ues dont le degré peut être abaissé , par suitee circonstances particulières, et dont la réso-lution peut ainsi êire ramenée à celle d'uneéquation d'un degré inférieur.

En général, l’abaissement a lieu lorsqu'onobtient entre les inconnues d'un problèmepossible plus d'équations qu'il ne renfermed'inconnues, ce à quoi l’on parvient souventen considérant le problème proposé sous plu-sieurs faces; on trouve alors entre une memeinconnue deux équations limites qui devants’accorder entre elles, ont un diviseur com-mun, duquel on tire la solution la plus simpledont le problème soit susceptible.

Le cas où une équation a des racines égalespeut être regardé comme l'un des cas d’abais-sement les plus remarquables. (Col. 102),Equation réciproques. — On appelle ainsitoute équation qui ne change pas lorsque i'ony remplace# par

Pour qu’une équation de degré pair soit ré-ciproque, il faut et il suftit, si le ternie dumilieu ne manque pas, que les coefficientségalement distants des extrêmes soient égaux;et si le terme du milieu manque, que les coel-ticieuts également distants des extrêmes soientégaux , avec des signes contraires.

La seconde de ce?< équations admet les raci-nes + i et — I ; et la suppression du facteurdu second degré correspondant à ces racines,doit couduire è uue équation de la même formeque la première.

Pour qu'une équation de degré impair soitréciproque , il faut et il sufûl que les coeffi-cients à égale distance des extrêmes soientégaux , ou qu'ils aient deux à deux la mêmevaleur numérique avec des signes contraires.

La première de ces équations a pour racine— t, et la suppression du facteur correspon-dant # •+- t mène à une équation réciproquede degré pair, dans laquelle le terme ou mi-lieu ne manque pas. Lu seconde de ces équa-tions admet la racine + \ ; et en supprimantle facteur# — \, on obtient une équation ré-ciproque de degié pair, ayant encore le termedu milieu.

Il reste donc à considérer l'équation réci-proque de degré pair, dont le terme du milieu

ne manque pas, et qui n'a plus pour racine ni-j-t, ni —t.

Cette équation, de degré 2 /a peut se mettresous la forme

( n i \ n— 1 1 v , \

* + „-) + v + ,-) + i

Or si l'on pose #•+•-,:

cl en substituant ces valeurs de # en z, on ar-rivera à une équation de degré n.

Equations binômes. — On appelle ainsi touteéquation de la forme # WZ + A=0. En posant# = <n/, on transformera cette équation en

!/'“ + < =0.

Si m est un nombre impair 2« +1 et quel'on prenne le signe inférieur, on aura à con-sidérer l'équation

y 1 ' 1 ^ 1=0;

telle équation admet une racine égale à t, eten la divisant par le facteur y— 1 correspon-dant à celte racine, on obtient l'équation réci-proque de degré pair

?r' l +!/-'‘ " l +ü/ 2 ““ 2 + - V u'-'r !/ ! I =11qui n'a que des racines imaginaires, mais quipeut être abaissée à une équation du degré n,eu posant y 4- y- z -

Si l'on avait pris le signe supérieur, en au-rait eu l'équation

y-' l +' + I = (I

dont les racines ne diffèrent que par le signede celles de la première équation.

Supposons maintenant m pair et égal à 2 n.L’équation primitive devieut, en considérantd’abord le signe inférieur,

Celle-ci admet les racines -H et — t ; en di-visant par?/ 2 — I, on obtient l'équation réci-proque de degré pair

y -\ y -ry -r■••• +y +y -H — ddont toutes les racines sont imaginaires , etqui peut être ramenée à mie équation de de-gré moitié moindre.

Enlin l’équation

!/ 2 ' J +< = 0

n'admet que des racines imaginaires. Ellepeut se ramener à la résolution des équations

y' 1 — 1=0, ?/'+t=U.

Equations trinômes. — Pour résoudre uneéquatiou trinôme de la forme

#-//*_)_ r/ = n •

on pose x ,n =: y. d'où

.'/ 2 +/"/ + '7 = ®-

Si a et h sont les deux racines de celte dt-r-