107

Àf.GF.ftRE.

mère, les valeuts de x dépendent des deuxéquations binômes

x” l =a, x' n =b.

§ t5. Faits divers relatifs à Calibre.

soi.utiom des proulèmes. — Elle se composede deux parties , savoir : t° la mise en équa-tions du problème proposé ; 2° la résolutiondes équations auxquelles on est parvenu.

I a première parue n'est soumise à uueunerègle bien llxe. Tantôt l'énoncé du problèmefournit sur-le-champ les équations , tantôt ouest obligé de démêler dans l'énoncé les condi-tions qui sont de nature à les former; tuntûteutlu ce ne sont pas les conditions elles-mêmesde l'énoncé qu'il faut traduire algébriquement,mais bun des conditionsque l'on peut regar-der comme des conséquences des premières.AI. Lacroix a donné à ce sujet le precepte sui-vant, dont l'application bien entendue conduittoujours aux équations : « itegardez le pro-» blême comme résolu, et indiquez , à l'aide» des signes algébriqucssur les quantités eon-» nues, représentées, soit pnrdcs nombres, soit» par des lettres, et sur les inconnues toujours» représentées par des lettres, les mêmes rni-» sonnements et les mentes opérations qu'il» faudrait effectuer pour vérifier les valeurs» des inconnues, si ces valeurs étaient dou-» nées. »

La seconde partie de la résolution des pro-blèmes , c'est-à-dire la résolution des équa-tions auxquelles on est parvenu, est exposeedans les paragraphes précédents

II est important de remarquer que les diver-ses méthodes données pour la résolution deséquations, peuvent conduire à des valeurs né-gatives pour les inconnues. Ces valeurs satis-font toujours bieu aux équations , mais ellespeuvent ne pas convenir au problème tel qu'ila été posé.

Dans les problèmes du premier degré toutevaleur négative trouvée pour l'inconnue indi-que un vice dans le sens des conditions de l'é-noncé, ou ou moins dans l'une des équationsqui en est ta traduction algébrique. Celte va-leur, abstraction faite de son signe, peut èireregardee comme la réponse à un problèmedont l'énoncé ne diffère de celui du problèmeproposé, qu'en ce que certaines quantités, d'ad-ditivesqu'elies étaient, sont devenues soustrac-tives, et réciproquement.

Lorsque le vice existe dans une équation ,non pas dans l'énoncé du problème , les solu-tions négatives redressent le point de vuesous lequel on a envisagé les conditions de ceproblème.

Détails historiques. — L'origine de l'algè-bre est récente comparativement à celle del'arithmétique. Diophante d’Alexandrie , quivivait probablement vers le milieu du qua-trième siècle de notre ère, est l'auteur du plusancien traité d'algèbre qui nous soit parvenu.Ce traité sc composait de treize livres, dontsix seulement sont conservés. On n'y trouvepas une exposition des principes élémentairesde la science, mais bien une collection dequestions difficiles sur les carrés et les cubes,ainsi que plusieurs propriétés des nombres.

Les problèmes de Diophante supposent la ré-solution des équations déterminées du pre-mier et du second degré, et des connaissancesétendues sur l'analyse indéterminée. Fourdonner une idée du genre des questions lesplus simples dont Diophante s'est occupé ,nous citerons ici son épitaphe qui se trou\edans l'Anthologie grecque. « Diophante passa

10S

» dans l'enfum e le sixième du temps qu'il vé-» rut, et un douzième dans l'adolescence ; en—» suite il se maria et demeura dans celle« union le septième de sa vie , augmenté de» cinq ans, avant d'avoir un llls, auquel il sur-» vécut de quatre ans, et qui n'atteignit que la» moitié de l'Age où son père est parvenu.» Quel âge avait Diophante lorsqu'il mourut ?»line simple équation du premier degré donnequatre-Miigl-ijuutre ans pour la durée delà vie«le ce géomètre.

Il ne faut pus croire, «lu rosie, que l'ontrouve rien, dans Diophante qui lessemble aumécanisme des opérations algébriques tellesque nous les eflectuons. Il représente l’incon-nue par l’abréviation OÇ, tlnale du mot grecCtptOiJ. 0 ; (nombre), par lequel il la désigne.Mais il n'emploie ni les lettres de l'alphabet ,ni les signes élémentaires , excepté toutefoisle signe de la soustraction , qui est un 'hrenversé et un peu tronqué.

C'est à Léonard de Pise ( Fibonacci ) que leschrétiens d'Occident doivent la connaissance del'algèbre mais non pas celle de l’arithmétiquevulgaiie, comme ou l'avait prétendu à tort.

L'algèbre occupe le quinzième et dernierchapitre de son abacus , composé en 1202 , eta été publiée récemment par M. I.ibri , dansson Histoire des sciences mathématiquesen Italie .

Fibonncci avait emprunté la plupart de scsconnaissances algébriques aux Arabes qui l««avaient eux-mêmes puisées, très-probable-ment, dans les livres grecs, et surtout dansDiophante .

Il est possible, cependant, que les Arabes aient aussi fait quelques emprunts à l'Inde , oùl'algèbre était cultivée très-anciennement.Deux monuments de l'algèbre indienne ont étépubliés en anglais il y a environ trente-cinqans. ithnscarn Aclinrya, auteur de l'un des deux'traités, vivait au douzième siècle; et Brabme-gupta, auteur de l’autre, vivait au septièmesiècle de l'ère chrétienne. On doit avouer quesi ces ouvrages eussent été apportés en Eu-rope soixante ou quatre-vingts uns plus tôt, ilseussent pu hâter les progrès de l'analyse algé-brique , même du vivant d'Euler . Hrahme-gupia cite souvent Aryabhattn , dont malheu-reusement les écrits sont perdus , et qui paraitn'avoir pas été postérieur à Diophante .

Quoi qu'il en soit, le nom même de l'algèbreest dû aux Arabes , qui avaient nommé cettescience èl-djaber êl-mogabelah, c’est-à-direla science des restaurations ou des rétablis-sements , des proportions et des solutions.

Ce nom était fondé sur la règle en vertu delaquelle on opérait le passage ou le rétablisse-ment d'une quantité qui était négative et quidevenait positive étant transportée ou réta-blie dans l'autre membre de l'équation. Enchirurgie , au moyen âge, le mot algèbre si-gnifiait l'art de restourer, de rétablir les mem-bres démis ou fracturés; et dans les languesespagnole et portugaise aigebrista signiiicencore chirurgien.

Après Léonard de Pise, Lucas de Burgo, Jé-rôme Cardan , Scipion Ferrari et Tartaglia ,tous Italiens, tirent faire de grands progrès à luscience de l'algèbre.

Christophe Kudolpb, algébrisle allemand ,fit paraître, en 1522, un ouvrage ou l'on voitpour la première fois les signes -(-, — et V .

L'Allemand Stifel, dans son Arithmetica integra publiée à Nuremberg en t5Vt, Pele-tier en 1558 , et Butéou vers la même époque ,tous deux Français , ont représenté les m-