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Un polygone régulier a pour mesure la moi-tié du produit de son périmètre par le rayondu cercle inscrit.

Le cercle peut être considéré comme uu po-lygone régulier d'une infinité de eûtes. U adonc pour mesure la moitié du produit de lacirconférence parle rayon.

Mais comment obtenir la circonférence lors-que l'on a le rayon? au moyen d’un rapportnumérique très-simple qui consiste à prendretes ^ ou les |-|-| du rayon.

Le rapport ^ a été donné par Archimède .Il est exact à moins de0,0i près.

Le rapport |y| est dû à Adrien Métius. Ilest facile à retenir, car on l'obtient en écrivantdeux fois de suite chacun des trois premiersnombres impairs 113355, et en séparant les sixchiffres aiusi obtenus en deux tranches égales,dont l'une, celle de droite, forme le numéra-teur, et l’autre, celle de gauche, le dénomina-teur. Le rapport |-|4 est exact à moins de0,000001 près.

Ecrit avec sept décimales, le rapport de lacirconférence au diamètre est 3,1415027.

Il est aujourd'hui bien prouvé que ce rap-port ne peut être exprimé exactement par au-cun nombre; mais on peut approcher autantque l’on veut de sa véritable valeur. LudolphVari Ceulen l’a calculé avec 34, Lagny avec 12Sdécimales; cntln l’approximation a été pousséejusqu'à la 155? décimale, dans un manuscritde la bibliothèque Katelif à Oxford. Les septdécimales que nous avons données sufüsentpresque toujours dans la pratique.

La grande chimère de la quadrature ducercle consisterait à trouver, par des construc-tions géométriques, la longueur de la circon-férence dont on a le rayon, ou, ce qui revientau môme, le côté du carré équivalent au cer-cle dont le rayon est connu. Ce problème estimpossible, et il n’y a que des fous et des igno-rants qui s'obstineut à eu chercher Ia 60 iutiuu.

Le secteur circulaire A MCO (Ügure2| apour mesure la moitiédu produit de l'arc AMGpar le rayon.

L’aire de ce secteur esta l’aire du cen lecomme l'arc A M C est à la circonférence en-tière.

Le segment circulaire A M C a pour mesurela différenceeutre le secteur A M C O et lelrum-gle A O C.

On exprime par le symbole abrégé tu le rap-port de la circonférence au diamètre. On a•loue, en désignant le rayon par r :

décomposée en triangles, on obtiendra l'aired'une tigure quelconque de ce genre, en fai-sant la somme des aires des triangles dans les-quels elle a été divisée.

Au lieu de la décomposition en triangles, re-présentée ligure 19, on préfère souveut la dé-

composition eu triangles ou en trapèzes, dontla ligure ‘20 donnera une idée. Alors Luire

de la ligure plane est composée de la sommeet de la différence d’un certain nombre d'élé-

ments triangulaires en trapézoïdaux.

s 4. Figures semblables , lignes proportion-nelles et rapports des Jigures.

Similitude des figcrfs.— Deux triangles sonldits semblables lorsqu'ils ont les trois angleségaux chacun à chacun. Les côtés opposés «tixangles égaux, dans les deux triangles, sontappelés homologues.

La propriété fondamentale des triangles sem-blables, c’est d’avoir les côtés homologues pro-portionnels. Si donc les deux triangles A B C.1> R 1’ {ligure 21 ) ont les angles A = D, B= K,

Circonférence = 2 tu rAire du cercle tz i ~

De même, en désignant par b la base, et parh la hauteur des diverses ligures que nousavons eu occasion de considérer, on a les ex-pressions abrégées :

Aire du triangle = ^ bh

Aire du parallélogramme = bit.

Aire du trapèze — ^ [b-\rb 'J h-

(// est la base parallèle à b.)

Aire du polygone régulier circonscrit= i anr.

a est le côlé, n le nombre des côtés, et r leravon du cercle inscrit.

Toute ligure plane rectiligne pouvant êlre

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ees deux conditions suffiront pour que les au.très angles 0 et F soient aussi égaux, et poqique l'on ait les proportions :

AB : DE ; : BG : EFAB : DE : : AC : DFAC : PF . ; BC : IT

fi

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