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l'hypolhénuse. Chacun de ces triangles estaussi semblable nu triangle total CAB.

L’angle droit CAB, ayant son sommet placésur la demi-circonférence dont CB est le dia-mètre, il en résulte encore que si, d’un pointquelconque A delà circonférence on abaisseune perpendiculaire AD sur le diamètre, cetteperpendiculaire est moyenne proportionnelleentre les deux segments CD, DB ; et que cha-cune des cordes AC, AB est moyenne propor-tionnelle entre le diamètre CB et le segmentadjacent CD ou BD. Ces relations sont expri-mées par les égalités :

ad 2 - cdxi>b,ac 2 =cbxcd,ab=cbx BD.

Deux triangles qui ont un angle égal sontentre eux comme les rectangles (ou les produits)des côtés qui comprennent l’angle égal.

Les contours de deux triangles ou plus géné-ralement de deux polygones semblables sontentre eux comme les côtés homologues, et leurssuperlicies sont comme les carrés de ces mê-mes côtés.

Deux polygones réguliers d’un même nom-bre de côtés étant toujours semblables, cesrapports existent pour eux ; ces rapports exis-tent aussi lorsque l’on considère les rayons descercles inscrits ou circonscrits au lieu des cô-tés homologues.

Deui cercles quelconques sont des polygo-nes réguliers d’une infinité de côtés et’parconséquent semblables. Donc les circonféren-ces sont entre elles comme les rayons, et lescercles comme les carrés des mêmes rayons.

Cette proposition combinée avec celle ducarré de l’hypothénuse, conduit à la quadra-ture des lunules d'Hippocrate de Chio, célè-bres dans l’antiquité. En construisant (fig. 3'<)

sur les côtés d’un triangle rectangle pris pourdiamètre trois demi-cercles qui se coupent,on verra facilement, d’après ce qui précède,que la somme des deux plus petits est égale auplus grand, ou, en retranchant les segmentscommuns, que la somme des lunules n et pest égale au triangle rectangle ABC; et lune etl’autre seront égales en superficie au triangleABD, ou au triangle CBD, lorsque le triangleABD est isocèle en même temps que rectangle.

Les lunules d’Hippocrate nous offrent leplus ancien exemple connu de l’assimilationexacte d’un espace curviligne à une figurerectiligne.

On doit au frère du célèbre Clairaut une gé-néralisation remarquable de la propositionrelative au carré de l’hypolhénuse.

Elle consiste en ce que si l’on décrit deuxparallélogrammes quelconques AD, AK, surles côtés AC, AB, d’un triangle obliquangle;que l’on prolonge en il les côtés DE, KF de cesparallélogrammes; qu’après avoir tiré HA, onprenne sur son prolongement LM = ha etqu’on achève le parallélogramme BCNO, celui-ci sera équivalent à la somme des deux pre-miers. (fig. :15).

'“s uarties de deux cordes qui se coupentclans un cercle sont réciproquement propor-tionnelles, oti autrement le rectangle des deux

segments de l une est égal au rectangle desdeux segments de l’autre.

.si, d’un même point pris hors d’un cer-cle, on mène deux sécantes terminées à leursecond point de rencontre avec le cercle,les sécantes entières seront réciproquementproportionnelles à leurs parties extérieures;et le produit de chacune d’elles par son seg-ment extérieur sera égal au carré de la tan-gente mené du même point à lu circonférence.

Dans tout parallélogramme la somme descarrés des côtés est égale à la somme des car-rés des diagonales.

Dans tout quadrilatère inscrit le rectang'edes diagonales est égal à la somme des rectan-gles des côtés opposés.

il

§ 5. Tracé des figures et solution desproblèmes.

On trouve dons ce qui précède tous les élé-ments nécessaires à la solution des principauxproblèmes et au tracé des figures de géomé-trie les plus usitées. Cependant quelques tra-cés exigent des développements particuliers,et il est nécessaire de résumer ici l’ordre logi-que dans lequel ils doivent être présentés suc-cessivement.

I. Diviserune droite en deux parties égales?(Voy. colonnes 112 et 12't.)

II. Par un point donné sur une droite, éle-ver une perpendiculaire à cette droite? (Voy.col. 112,1

lit. D’un point donné hors d’une droiteabaisser une perpendiculaire sur cette droite?(Voy. col. 112.)

1Y. En un point d’une droite donnée, faireun angle égal à un angle donne? ( voy.col. 118 .)

V. Diviser un angle ou un arc en deux par-ties égales? il suffit d’abaisser du sommet del’angle une perpendiculaire sur la corde quisoustend l’arc compris entre les côtés de cetangle, et décrit au sommet comme centre.(Voy. cot. 112.)

VI. Par un point donné A mener une parai •lèle à une droite donnée BC Ifig. 36) ? — Du point

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