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SOI.VTIOS DES PROBLÈMES.

m

B

triangle équilatéral dans une en-conférencedonnée?

Le côté AR (fig. 49 ) de l'hexagone régulier

4 9

inscrit, ABCDEF est égal nu rayon OA; et letriangle équilatéral ACE s'obtient en joignantde deux en deux les sommets de l'hexagone.

XXIX. Inscrire dans un cercle donné undécagone, un pentagone et un pentédeeugoneréguliers?

I.e côté AR (fig. 50} du décagone régulier

.5o

inscrit, ABCDEFGF1KL est égal au plus grandsegment 01 du rayon OA divisé en moyenneet eitrème raison. (Voy. le problème XX.)

T.e pentagone BDFIIL s'obtient enjoignantde deux en deux les sommets du décagone.

EWin, l’arc CB ( 11g. 51) soustendu par le

51

côté du pentédécagone régulier inscrit (poly-gone de quinze côtés ), est égal à la différenceentre l'arc AB qui soustend le rayon , et l'arcAC qui soustend le côté du décagone régulier.

Comme on peut toujours diviser un arc en2, 4, 8,16, 32, etc., parties égales, on voit queTon sait inscrire rigoureusement, par ce quiprécède, les polygones réguliers dont les nom-

bres de côtés sont exprimés par les quatrosuites,

3, 6, 12, 24, 48, 90, 192, 384, etc.

4, 8, 16. 32, 64, 128, 256, 512, etc.

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, etc.

15, 30, CO, 120, 240, 480, 900, 1920, etc.

Jusqu’aux premières années de notre siècleon avait cru que ces polygones régulier»étaient les seuls qui pussent être décrits àl’aide de la règle et du compas; mais M. Gnns ,illustre géomètre et physicien allemand , aprouvé que la chose est possible pour tousles nombres de côtés qui sont premiers, et qui,diminués de runité , donnent une puissanceexacte de 2. On peut donc inscrire dans le cer-cle, à l’aide de la règle et du compas, les po-lygones de 17, de 257, etc. , côtés et tous ceuxqui en dérivent, parce que

Du reste, dès que le nombre de côtés devientun peu considérable et que les ligures sur les-quelles on opère ne sont pas trop grandes,il est avantageux d'avoir recours aui métho-des de tâtonnements graphiques. On peutmôme en donner qui conduisent à une ap-proximation suffisante dans la plupart des casde la pratique, pour des polygones dont lesnombres de côtes ne sont pas compris dansles suites précédentes.

Ainsi, le côté de l'heptagone régulier ins-crit [polvgone de sept côtés) est à moins d'unmillième près égal h la moitié du côté dutriangle équilatéral inscrit.

La petite table suivante sera fort utile pourconstruire divers polygones réguliers dansdifférents cas.

NOMBREdes côtés dupolygone.

VALEURdu côté, lerayon du cerclecirconscritétant 10 000.

1

VALEUR jdu rayon du jcercle cir- jconscrit lecôlé|étant 10 000. j

3

17320

5773

14142

7071

11756

8506

0

10000

10000

7

8678

11524

8

13066

9

6840

14619

10

6180

16180

11

5635

17747

12

5176

19310

13

4784

20901

14

4450

22470

15

4158

24049

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QüàDRATCRE APPROCHÉe DR CERCLE. — Ondonne aussi une solution graphique très-ap-proebée du problème de la rectiücation de lacirconférence qui revient à celui de la qua-drature du cercle.

Soient menés d'abord(Ûg. 52 deux diamètres àangle droit AB, CD, et soit AE perpendiculaireà BA. On prend l’arc CG de 60 degrés, c'est-è-dire la distance CG égale au rayon ; on tireFGH, et on porte le rayon trois fois de II en 1 ;61 est è environ 6 cent millièmes près la lon-gueur de la demi-circonférence qui a pourrayon FA.

Polygones étoilés. — Du tracé des polygones