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rOMGONKS REGULIERS.

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les sommets A, B, I), on mène les lignes A a,\\b, Md, qui déterminent sur les premièresdroites les six segments \b, bM , Dr/, //B, Br/ ,r/A, les produits des segments séparés serontégaux , et l'on aura

A b X B d X D a = a B X bM X r/A.

Pks ihrmomqcf.s. — Soient A et M illg. Gt),

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les sommets de deux angles CAB , CM K dontles cAtés se coupent aux points D, H, C, K. Sion tire les diagonales BK, DC, dans le quadri-latère BDEC, et que l'on trace la droite Aülon aura la relation

CM X B1 = MB X Cl.

on dit alors que la droite MC est diviséeharmoniquement aux points B et 1.

I.es distances CM , CB, Cl du point C auxpoints M, B, 1 sont donc (elles que l'on a laproportion.

CM : CI :: CM — CB : CB - Clqui prend le nom de proportion harmoniquecontinue.

Plus généralement quatre quantités a, b, c,<1, sont en proportion harmonique, lorsquelu première est à la quatrième comme la dif-férence entre la première et la seconde est àla différence entre la troisième et la qua-trième, c’est-à-dire lorsque l'ona : d :: a—b : c—d

Une suite de quantités sont en progressionharmonique, lorsque trois quelconques d’en-tre elles prises consécutivement forment uneproportion harmonique continue.

!.a droite ME est divisée elle-même harmo-niquement aux points D et II , et il en seraitde même de toute droite menée par le mêmepoint.

Les droites menées par le point M formentce que l'on nomme un faisceau harmonique,dont le point M est le pôle, et la ligue Al lapolaire.

Si l’on considère deux droites quelconquesME, MN du faisceau harmonique, le point deconcours S des diagonales LE , DN se trouiesur la polaire Al

APPLICATIONS des propositions précédentes.— Dans les dessins d'architecture , dans letracé des cartes, etc., on a souvent besoin demener par un point donné une droite quiconcoure avec deux autres droites, et il peutarriver que le point de rencontre soit situéhors du cadre ne l'épure, c'est-à-dire hors dela feuille sur laquelle on opère. Les propriétésdes ligures précédentes permettent de levercette diftlculté.

Soient I.B, NC, deux droites entre lesquellesest placé le point 0 par lequel on doit menerune droite qui concoure avec les deux pre-mières.

Far ce point 0 menons deux droites quel-conques CD, EB telles que les droites ED, CBqui joignent leurs extrémités d’un mêmeci>té, concourent en un point M placé dansl’intérieur du cadre, ce qui est toujours pos-sible. Par le point M tirons une droite quel-conque MLN , et Joignons DN et LE: le pointde rencontre S de ces deux dernières détermineavec le point 0 la droite cherchée Al.

Lorsque le point donné N est extérieur auxdroites données BC, DE, on mène par ce pointune droite quelconque CA , puis une secondedroite quelconque BA qui rencontre la pre-mière en A, point compris dans les limites del’épure. On tire BE et DC qui se coupent en 0,puis OA; on joint DN qui coupe OA en S, ontire ES qui vient couper BA en un point I. ;enfin on tire NL, qui est la droite demandée.

Ces constructions ne sont pas moins utilessur le terrain que sur le papier. Supposons ,par exemple, que CA et CB ' tlg. 62) soient les

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directions de deux allées qui concourent aucentrée du rond-point d’un parc; et qu’ils'agisse d'en ouvrir une nouvelle dont la di-rection soit assujettie à passer par un pointdonné O. Pour tracer la direction de cette alléeau travers d'un massif d’arbres qui empêchentd'apercevoir le point c du point 0 et / vice / versû,il faudra recourir à la construction du premiercas ci-dessus. On aura, à cet effet, 9 jalons àplanter. Atin d’éviter les redites, nous avonsnuméroté sur la figure les points où ils doi-vent être placés, aans l'ordre que nécessitela construction. Les Jalons \ et 9 détermine-ront la direction cherchée.

On peut se proposer de trouver un pointsur le prolongement d'une droile inaccessible;on a recours pour cela ù la construction du se-cond cas ci-dessus.

Soit AB füg. 63) la droile inaccessible, déter-minée seulement par deux points visibles Aet B. Faisons planter dans la campagne un ja-lon quelconque t ; puis sur les directious A.fet B.t, marquons par des jalons les points 2cl 3, choisis arbitrairement, mais de manière