151

GEOMETRIE.

Si l’on retranche, par une section paral-lèle ô la ba6e, une partie de ce cône, le so-lide qui reste au-dessous du plan coupantprend le nom de cône tronqué ou tronc decône ; ce solide peut être considéré commeengendré par la révolution d’un trapèze rec-tangulaire hùba autour du côté B£ perpen-diculaire aux bases.

Le côté immobile B6 s'appelle l'acre ou lahauteur du tronc, les cercles ab et AB ensont les bases , et A a en est le côté.

§ 9. Evaluation des surfaces et des volumesdes corps.

Le volume d’un parallélipipède ou en géné-ra! d’un prisme quelconque est équivalent auproduit de sa base par sa hauteur; ou, en d'au-tres termes, si l’on multiplie le rapport de labase à l'unité superficielle ou au carré qui apour côté l’unité de longueur, par le rapportde la bauteur à cette unité linéaire, le produitexprimera le rapport du solide que l'on con-sidère à l'unité du volume, ou au cube qui apour côté l'unité de longueur.

Algébriquement cette expression est B h.

Le volume d’une pyramide quelconque estégal au tiers du produit de sa base par sa hau-teur.

En termes algébriques, cette mesure s'ex-prime ainsi y B h.

Le volume d’un tronc de pyramide a pourmesure le tiers du produit de sa hauteur parla somme de trois surfaces qui sont la basesupérieure, la base inférieure et une moyenneroportionnelle géométrique entre ces deuxoses.

Algébriquement, cette mesure est"f h (B+B^+i).

Un prisme triangulaire tronqué a pour me-sure le tiers du produit de sa base par la sommedes distances des trois sommets au plan decette base.

Ou d’une manière abrégée

IB (*+/<'+/»").

La surface convexe d'un cylindre est égaleau produit de la circonférence de la base par lahauteur, ou à 2Ttr/i,7T étant le rapport de lacirconférence au diamètre et égal à 3,t-'H5927.

Le volume d'un cylindre est égal au pro-duit de Taire de la base par la hauteur, ou à

Itr h.

La surface convexe d’un cône est égale à lamoitié du produit de la circonférence de labase par le côté, ou à TZrl.

Le volume d’un cône est égal au tiers duproduit de Taire de la base par la bauteur, ou àf TITr 2 /!.

La surface convexe d’un tronc de cône estégale è la moitié du produit du côté par lasomma des circonférences des bases, ou àTZl (r + r’).

Le volume d'un tronc de cône est égal autiers du produit de la hauteur par la sommede trois surfaces, qui sont la base supérieure,la base inférieure et une moyenne propor-tionnelle géométrique entre ces deux bases.

Algébriquement | TZh (R 2 -f Rr-j- r 2 j.

Les résultats relatifs au cylindre, au cône et

152

au tronc de cône, se déduisent de ceux qmsont relatifs à un prisme droit, à une pyra-mide régulière et à un tronc régulier de py-ramide, dans lesquels le nombre des côtés desbases serait infini.

La surface de la spbère est égale au produitdu diamètre par la circonférence du cerclegénérateur, ou à quatre fois la surface de cecercle, autrement dit à 4 7T r 2 = TU rf 2 .

Le volume de la sphère est égal au produitde la surface de la sphère par le tiers du rayon,OU à | 7t> 8 OU 6 | TC ri 3 .

La surface d’une zône sphérique quelcon-que est égale au produit de sa bauteur par lacirconférence du cercle générateur de lo sphère,ou à 27Cr/t.

Tout secteur sphérique a pour mesure lazône qui lui sert de base multipliée par letiers du rayon, ou y TC r 2 h.

Tout segment de sphère compris entre deuxplans parallèles a pour mesure la demi-somme de ses bases multipliée par sa hauteur,plus le volume de la sphère dont celte mêmehauteur est le diamètre, ou autrement

\ IC h (k 2 + r 2 ) + { 7C/i a= * 6 7CA (3R 2 +3/- 2 +7t 2 )si Tune des bases est nulle, cette expressiondevient | IZh (3R 2 + h 2 ).

Tout polyèdre peut être décomposé en py-ramides dont les sommets partent d'un mêmepoint placé à l’intérieur de ce polyèdre, etdont les hases sont les différentes faces du po-lyèdre. 11 est donc facile d’évaluer le volumed'un polyèdre quelconque.

Si Ton prend pour sommet commun de*toutes les pyramides l’un des sommets du po-lyèdre lui-mème, la base de chacune de cespyramides sera une des faces du polyèdre; onen obtiendra l'aire immédiatement, et la hau-teur se mesurera en posant cette face sur unplan horizontal, et en prenant la distance dusommet commun à ce plan.

Lorsque Ton considère un rectangle dont lahauteur est le diamètre du cercle générateurde la sphère et dont 1rs bases égales au rayonsont tangentes au cercle, pendant que le deîni-cercle engendre la sphère, ce rectangle en-gendre un cylindre circonscrit à la spbère.

La surface de la sphère est a la surface to-tale du cylindre circonscrit ( en y comprenantles deux bases ), dans le rapport de 2 à 3 ; lesvolumes de ces deux corps sont dans le mêmerapport.

Celte proposition remarquable a été trouvéepar Archimède , qui avait demandé qu'elle fûtgravée sur son tombeau ; et c'est à la vued’une figure représentant la sphere inscrite ancvlindre que Cicéron, alors questeur en Sicile ,découvrit le lieu d’inhumation du grandgéomètre, que ses ingrats compatriotes avaientoublié moins de deux siècles après sa mort.

§ tO. Propriétés des figures à la surfacede la sphère.

Tout plan perpendiculaire à l’extrémité d'unrayon est tangent b la spbère, ou, en d'autrestermes, n’a qu’un point commun avec elle.Toute section de la spbère par un plan est uncercle dont la grandeur dépend de la distant edu plan coupant an centre.

Ou appelle grands cercles ceux dont le