15:, TRIANGLES SPHÉRIQUES. SIMILITUDE.

l.V'i

plan passe par le centre, et petits cercleslotis les autres. Les grands cercles sont touségaux entre eui et au cercle générateur.

Trois arcs de grand cercle, qui se coupentà la surface de la sphère, déterminent uneligure que l’on appelle triangle sphérique.

11 y a dans un triangle sphérique six élé-ments, les trois cOtés ou arcs de cercle à la sur-face de la sphère, et les trois angles dièdresque font entre eux les plans qui, passant parle centre, ont déterminé ces arcs sur la sphère.

Tout triangle sphérique correspond doncà un trièdre dont le sommet est au centre deta sphère, dont les ongles dièdres sont ceuxdu triangle lui-mème, et dont les anglesplans ont pour mesure les côiés du triangle.

De même, tout polygone sphérique cor-respond par ses angles aux dièdres d’un an-gle solide dont le sommet est au centre de lasphère, et dont les angles plans ont pour me-sure les côtés du polygone.

Le plus court chemin d’un point à un outre,sur la surface de la sphère, est l’arc du grandcercle qui joint les deux points donnés.

Dans tout triangle sphérique, un côié quel-conque est plus petit que la somme des deuxautres et plus grand que leur différence.

La somme des côtés de tout polygone sphé-rique est moindre que la circonférence d'ungrand cercle.

Un diamètre de la sphère, perpendiculaireau plan d'un cercle quelconque, rencontre lasurface de la sphère en deux points égalementéloignés detous les points de la circonférencede ce cercle, et qui en sont les pôles.

Si de chacun des sommets d'un trianglcsphc-rique , comme pôles, on décrit des arcs degrand cercle qui en sont éloignés d'un qua-drant (quart de circonférence d’un grand cer-cle), le nouveau triangle formé par l’intersec-tion de ces arcs de cercle est dit polaire dupremier.

Iieciproquement les sommets du second sontles pôles «lu premier.

Chaque angle «i'un de ces triang es a pourmesure la deini-rirrunf<Tence moins le côtéoppose dans Faure triangle.

on démontre, sur les relations des trianglessphériques entre eux. des (impositions toui èfait analogues à cédés qui concernent lestriangles leclilignes. Seulement, comme lestriedres, les triangles sphériques peuvent êtreégaux dans toutes kurs parties sans que la su-perposition soit possible pour cela ; c’est en-core une égn’ile par symetiie (Col. liï).

Deux triangles situés sur la moine sphèr e ousur 1 des spheres égales, sont égaux d .ns toutesleurs parties :

l u Lorsqu'ils ont un angle égal compris en-tre côtés égaux chacun à chacun ;

2” Lorsqu'ils ont un côté eg.il adjacent àdeux angles égaux chacun à chai un ;

3 U lorsqu'ils ont les trois côtés égaux cha-cun à chacun ;

Lorsqu'ils ont les trois ongles égaux cha-cun è chacun.

Celle dernière proposition n'a pas lieu pourles triangles rectilignes, ou de l’égalité des an-gles on ne peut conclure que la proportionna-lité des côtés. La différence qui existe à ceté ard entre les triangles des deux espèces estdue a l'influence du rayon de la sphère. .S'ils'agissait de triangles tracés sur «le» sphèresde rayons différents, Légalité des angles diè-dres ii'eiilramerail que l'égalité des anglesplans au centre, et la simi itude des arcs in-lerceptes p ir ceux-ci sur la sphère ; mais surles sphères égales les triangles ne peuvent être•embiables sans être égaux.

La somme des angles de tout triangle sphé-rique est moindre que six, et plus gronde «piedeux ongles droits.

Le rapport de la surface d'un triangle sphé-rique quelconque à la surface de la sphère estexprimé par la huitième partie de 1 excès dela somme des trois angles sur deux anglesdroits, l'angle droit étant pris pour unité.

Le rapport de la surface d’un polygonesphérique convexe (qui n’a pas d’angles ren-trants), a la surface de la sphère, est égal à lahuitième partie de l'excès de la somme desangles augmentée de •'» sur le double du nom-bre des côtés du polvgone.

Une des conséquences les plus remarquablesde cette dernière proposition, c’est que le nombre S des angles solides d’un polyèdre aug-menté du nombre F de ses faces est toujourségal ou nombre des arêtes A augmenté de 2On a donc algébi iquement

S + F = A + 2.

§ H. De la similitude et des relations desJigures dans l'espace.

Deux pyramides triangulaires sont ditissemblables lorsqu'elles ont un angle dièdreégal compris entre deux faces semblables cha-cune à chacune, et semblablement disposées.

[.'existence de ces conditions entraîne la si-militude de toutes les autres faces homolo-gues, l'égalité des angles solides homologues ,la proportionnalité entre toutes les arêtes ho-mologues, et l’égalité entre les angles dièdreshomologues.

Cinq conditions seulement sont nécessair«6pour la similitude de deux pyramides triangu-laires. Parmi les divers énoncés auxquels peutdonner lieu le choix des conditions, on distir-gue celui-ci .

Deux pyramides triangulaires sont sembla-bles lorsqu'elles ont les côiés homologues pro-poriionnels.

Deux polyèdres sont dits semblables lors-que ayant «les bases semblables , les sommetsdes angles solides homologues, h or» deces ha-ses, sont dé er ines par des pyramides trian-gulaires semblables chacune à chacune , etsemblablement disposées.

De celte delluiliou il résulteque deux polyè-dres semblables ont les faces homologues sem-blables et les angles solides homologue- égaux;que les côtés, les diagonales . et généralementles lignes homologues sont dans un rapportconstant; que les deux polyèdres peinent separtager en un même nombre de pyramidestriangulaires semblables chacune & chacune ,et semblablement placées.

I.es volumes de deux polyèdres semblablessont entre eux comme les cubes des côtéshomologues.

De x cônes ou deux cylindres sont ditssemblables lorsqu’ils soni engendrés par destrianges rectangles ou par des rectanglessemblables.

ht ux cônes ou deux cylindres semblablessont aussi entre eux comme les cubes des di-mensions homologues.

§ 12. De quelques lignes courbes autresa ne la circonférence .

I.'elmpse est une ligne courbe (llg. 84) telleque la somme des distance» MF, MF'de cha-cun de ses p ints à deux point» lixes F et F'est constante.

Pour décrire l’ellipse d’un mouvement con-tinu , soit sur le U rrain , soit sur le papier, onse sert d’un cordeau ou d’un 111 FM F', que Fou7.